灵鹊做题网关于曲面积分的疑问∫∫x^3dydz+y^3dxdz+z^3dxdy,其中Σ为球面x^2+y^2+z^2=
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 20:30:45
关于曲面积分的疑问∫∫x^3dydz+y^3dxdz+z^3dxdy,其中Σ为球面x^2+y^2+z^2=a^2的外侧
∫∫x^3dydz+y^3dxdz+z^3dxdy,其中Σ为球面x^2+y^2+z^2=a^2的外侧.
疑问是这样的：把它化成 3∫∫∫(x^2+y^+z^2)dv 为什么不能把x^2+y^2+z^2=a^2带入得
3a^2∫∫∫dv =3a^2 *4/3*π*a^3 而正确解答是 化成球面坐标做的
∫∫x^3dydz+y^3dxdz+z^3dxdy,其中Σ为球面x^2+y^2+z^2=a^2的外侧.
疑问是这样的：把它化成 3∫∫∫(x^2+y^+z^2)dv 为什么不能把x^2+y^2+z^2=a^2带入得
3a^2∫∫∫dv =3a^2 *4/3*π*a^3 而正确解答是 化成球面坐标做的
嘿嘿,这里就是考你会不会区别面积分和重积分的地方了.
面积分的被积函数是建构在曲面方程上的,x² + y² + z² = a²,只包含方程的部分
积分域：{ x,y,z | Σ：x² + y² + z² = a² }
仅包括 = a²的部分,所以线积分和面积分都可以直接把积分域代入被积函数里.
而重积分的被积函数是建构在整个空间里的,x² + y² + z² ≤ a²,包含方程和方程里包含的空间
积分域：{ x,y,z | Ω：x² + y² + z² ≤ a² }
包括了① = a²的部分和② < a²的部分
如果把积分域代入被积函数,只有①的部分,而忽略了②的部分,这岂不是变成「球面」积分而不是「球体」积分吗?
例如对于积分域Σ：x² + y² + z² = a²,∫∫Σ (x² + y² + z²) dS = ∫∫Σ (a²) dS
但是∫∫∫Ω (x² + y² + z²) dV ≠ ∫∫∫Ω (a²) dV
这样清楚吧,曲面积分还是猛些的.
所以3∫∫∫Ω (x² + y² + z²) dV的正确做法是球坐标
= 3∫(0,2π) ∫(0,π) ∫(0,a) (r²) * (r²sinφ drdφdθ)
面积分的被积函数是建构在曲面方程上的,x² + y² + z² = a²,只包含方程的部分
积分域：{ x,y,z | Σ：x² + y² + z² = a² }
仅包括 = a²的部分,所以线积分和面积分都可以直接把积分域代入被积函数里.
而重积分的被积函数是建构在整个空间里的,x² + y² + z² ≤ a²,包含方程和方程里包含的空间
积分域：{ x,y,z | Ω：x² + y² + z² ≤ a² }
包括了① = a²的部分和② < a²的部分
如果把积分域代入被积函数,只有①的部分,而忽略了②的部分,这岂不是变成「球面」积分而不是「球体」积分吗?
例如对于积分域Σ：x² + y² + z² = a²,∫∫Σ (x² + y² + z²) dS = ∫∫Σ (a²) dS
但是∫∫∫Ω (x² + y² + z²) dV ≠ ∫∫∫Ω (a²) dV
这样清楚吧,曲面积分还是猛些的.
所以3∫∫∫Ω (x² + y² + z²) dV的正确做法是球坐标
= 3∫(0,2π) ∫(0,π) ∫(0,a) (r²) * (r²sinφ drdφdθ)
关于曲面积分的疑问∫∫x^3dydz+y^3dxdz+z^3dxdy,其中Σ为球面x^2+y^2+z^2=
计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,其中积分区域为,x^2+y^2+z^2=1的外侧.
计算曲面积分 I=∫∫(S+) (x^3)dydz+(z)dzdx+(y)dxdy 其中s+为曲面x^2+y^2=4,与
计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,∑是上半球面z=根下1-x^2-y^2的上侧
曲面积分∫∫(2x+3z)dydz-x(x*z+y)dzdx+(y2+2z)dxdy的全表面的外侧
曲面积分 ∫∫(y^2-x)dydz+(z^2-y)dzdx+(x^2-z)dxdy,∑为Z=1-x^2-y^2位于侧面
用高斯公式计算曲面积分∮xy^2dydz+yz^2dzdx+zx^2dxdy,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2
计算∫∫2xz^2dydz+y(z^2+1)dzdx+(2-z^3)dxdy,其中∑是曲面z=x
计算曲面积分I=∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy,积分区域为∑,∑是曲面z=1-x^2-
高斯公式 ∫∫(∑)x^3dydz+y^3dzdx+z^2dxdy,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=a^2外侧
求积分∫∫(x^2+zx)dydz+(y^2+xy)dzdx+(z^2+yz)dxdy,其中积分沿曲面外侧,x^2+y^
计算曲面积分∫∫(x^2-yz)dydz+(y^2-xz)dzdx+(z^2-xy)dxdy,其中∑是三坐标平面与x=a