灵鹊做题网一道线性代数的考研题 设A=（α1,α2,α3,α4）是4阶方阵,若（1,0,1,0）T 是方程组Ax=0的一个基础解系
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 12:46:45
一道线性代数的考研题
设A=（α1,α2,α3,α4）是4阶方阵,若（1,0,1,0）T 是方程组Ax=0的一个基础解系,则A的伴随X=0的基础解系可为?我想问的是 哪一个是Ax=0的线性无关解向量?
设A=（α1,α2,α3,α4）是4阶方阵,若（1,0,1,0）T 是方程组Ax=0的一个基础解系,则A的伴随X=0的基础解系可为?我想问的是 哪一个是Ax=0的线性无关解向量?
先看条件
Ax=0 的一个基础解系是 [1,0,1,0]^T
这说明
1) x_1 = [1,0,1,0]^T 是Ax=0 的一个解
2) Ax=0 的解空间是一维的,同时得到 rank(A)=3
3) 0 = A * [1,0,1,0]^T = α1+α3,即 α3=-α1,所以 {α1,α2,α4} 是线性无关的
进一步考察 adj(A)x=0 的解空间需要对伴随阵 adj(A) 比较熟
首先,从 rank(A)=3=4-1 可得 rank(adj(A))=1
注意 A*adj(A)=adj(A)*A=det(A)*I=0
所以 A 的每一列都是 adj(A)x=0 的解,而解空间又是三维的,所以{α1,α2,α4} 就是一个基础解系
再问： 怎么看解空间是几维的？
再答： 定义域的空间维数 = 映射的秩 + 映射的零度 你有必要先找本教材好好看, 做题不解决问题
Ax=0 的一个基础解系是 [1,0,1,0]^T
这说明
1) x_1 = [1,0,1,0]^T 是Ax=0 的一个解
2) Ax=0 的解空间是一维的,同时得到 rank(A)=3
3) 0 = A * [1,0,1,0]^T = α1+α3,即 α3=-α1,所以 {α1,α2,α4} 是线性无关的
进一步考察 adj(A)x=0 的解空间需要对伴随阵 adj(A) 比较熟
首先,从 rank(A)=3=4-1 可得 rank(adj(A))=1
注意 A*adj(A)=adj(A)*A=det(A)*I=0
所以 A 的每一列都是 adj(A)x=0 的解,而解空间又是三维的,所以{α1,α2,α4} 就是一个基础解系
再问： 怎么看解空间是几维的？
再答： 定义域的空间维数 = 映射的秩 + 映射的零度 你有必要先找本教材好好看, 做题不解决问题
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