（2007•昌平区一模）已知：如图，△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以点O为圆心，OB为半径的圆切AC于点D．

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/29 09:19:55

（2007•昌平区一模）已知：如图，△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以点O为圆心，OB为半径的圆切AC于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）若AD=2，DC=3，求⊙O的半径；
（3）若点D关于AB的对称点为D′，试探究当点D满足什么条件时，四边形DD′BC为菱形．

（1）证明：∵∠B=90°，且OB为⊙O的半径，
∴CB切⊙O于点B
∵CD切⊙O于点D
∴CD=CB（1分）

（2）连接OD（如图1），
由（1）得：BC=CD=3．
在Rt△ABC中，AC=AD+CD=2+3=5
由勾股定理得：AB=4．
∵AC切⊙O于点D，
∴AC⊥OD于点D．
∴∠ADO=∠ABC=90°．
∵∠A=∠A
∴△ADO∽△ABC
∴
AD
AB=
OD
BC
即
2
4=
OD
3
∴OD=
3
2（3分）
∴⊙O的半径为
3
2．

（3）结论：当点D为AC中点时，四边形DD′BC为菱形．（4分）
∵AB经过圆心O，点D关于AB的对称点为D′，
∴过点D作DD′⊥AB（如图2），
，交AB于点M，交⊙O于点D′
∴DM=D′M=
1
2DD′，∠AMD=∠B=90°．
∴DD′∥BC．
∴△AMD∽△ABC
∴
DM
BC=
AD
AC=
1
2，∴DM=
1
2BC
∴BC⊥DD′
∴四边形DD′BC是平行四边形．
由（1）知BC=CD
∴四边形DD′BC为菱形．（5分）