灵鹊做题网2010全国初中数学竞赛复赛试题
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 02:41:48
2010全国初中数学竞赛复赛试题
3月21号,也就是今天上午考的
3月21号,也就是今天上午考的
可能不太全,有的有答案有的没有,能找到的只有这些了,我们上午也刚考完
TOT题好难.网址是http://www.cdjks.com/ReadNews.asp?NewsID=2498
里面有完整的还有图
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）
1．若 ,则 的值为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
由题设得 ．
2．若实数a,b满足 ,则a的取值范围是 （ ）．
（A）a≤ （B）a≥4 （C）a≤ 或 a≥4 （D） ≤a≤4
解．C
因为b是实数,所以关于b的一元二次方程
的判别式 ≥0,解得a≤ 或 a≥4．
3．如图,在四边形ABCD中,∠B＝135°,∠C＝120°,AB= ,BC= ,CD＝ ,则AD边的长为（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
D
如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F．
由已知可得
BE=AE= ,CF＝ ,DF＝2 ,
于是 EF＝4＋ ．
过点A作AG⊥DF,垂足为G．在Rt△ADG中,根据勾股定理得
AD ＝ ．
4．在一列数 ……中,已知 ,且当k≥2时,
（取整符号 表示不超过实数 的最大整数,例如 , ）,则 等于（ ）．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
B
由 和 可得
, , , ,
, , , ,
……
因为2010=4×502+2,所以 =2．
5．如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1,1）,B（2,－1）,C（－2,－1）,D（－1,1）．y轴上一点P（0,2）绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,……,重复操作依次得到点P1,P2,…, 则点P2010的坐标是（ ）．
（A）（2010,2） （B）（2010, ）
（C）（2012, ） （D）（0,2）
B由已知可以得到,点 , 的坐标分别为（2,0）,（2, ）．
记 ,其中 ．
根据对称关系,依次可以求得：
, , , ．
令 ,同样可以求得,点 的坐标为（ ）,即 （ ）,
由于2010=4 502+2,所以点 的坐标为（2010, ）．
二、填空题
6．已知a＝ －1,则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．
0
由已知得 (a＋1)2＝5,所以a2＋2a＝4,于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟,小轿车追上了货车；又过了5分钟,小轿车追上了客车；再过t分钟,货车追上了客车,则t＝ ．
15
设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为 （千米/分）,并设货车经x分钟追上客车,由题意得
, ①
, ② ． ③
由①②,得 ,所以,x=30． 故 （分）．
8．如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0,0）,A（0,6）,B（4,6）,C（4,4）,D（6,4）,E（6,0）．若直线l经过点M（2,3）,且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是 ．
如图,延长BC交x轴于点F；连接OB,AF CE,DF,且相交于点N．
由已知得点M（2,3）是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线 把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5,2）是矩形CDEF的中心,所以,
过点N（5,2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是,直线 即为所求的直线 ．
设直线 的函数表达式为 ,则
解得 ,故所求直线 的函数表达式为 ．
9．如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D．若CD＝CF,则 ．
见题图,设 ．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以 ．
又因为 FC＝DC＝AB,所以 即 ,
解得 ,或 （舍去）．
又Rt△ ∽Rt△ ,所以 , 即 = ．
10．对于i=2,3,…,k,正整数n除以i所得的余数为i－1．若 的最小值 满足 ,则正整数 的最小值为 ．
因为 为 的倍数,所以 的最小值 满足
,
其中 表示 的最小公倍数．
由于
,
因此满足 的正整数 的最小值为 ．
三、解答题（共4题,每题20分,共80分）
11．如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF. 求证： ．
证明：如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都是直径,所以
ED⊥BC, FD⊥BC,
因此D,E,F三点共线. …………（5分）
连接AE,AF,则
,
所以,△ABC∽△AEF. …………（10分）
作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
,
从而 ,
所以 . …………（20分）
12．如图,抛物线 （a 0）与双曲线 相交于点A,B. 已知点A的坐标为（1,4）,点B在第三象限内,且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a,b,k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC‖x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
（1）因为点A（1,4）在双曲线 上,
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为 .
设点B（t, ）, ,AB所在直线的函数表达式为 ,则有
解得 , .
于是,直线AB与y轴的交点坐标为 ,故
,整理得 ,
解得 ,或t＝ （舍去）．所以点B的坐标为（ , ）．
因为点A,B都在抛物线 （a 0）上,所以 解得 …………（10分）
（2）如图,因为AC‖x轴,所以C（ ,4）,于是CO＝4 . 又BO=2 ,所以 .
设抛物线 （a 0）与x轴负半轴相交于点D, 则点D的坐标为（ ,0）.
因为∠COD＝∠BOD＝ ,所以∠COB= .
（i）将△ 绕点O顺时针旋转 ,得到△ .这时,点 ( ,2)是CO的中点,点 的坐标为（4, ）.
延长 到点 ,使得 = ,这时点 （8, ）是符合条件的点.
（ii）作△ 关于x轴的对称图形△ ,得到点 （1, ）；延长 到点 ,使得 ＝ ,这时点E2（2, ）是符合条件的点．
所以,点 的坐标是（8, ）,或（2, ）. …………（20分）
13．求满足 的所有素数p和正整数m.
．由题设得 ,
所以 ,由于p是素数,故 ,或 . ……（5分）
（1）若 ,令 ,k是正整数,于是 ,
,
故 ,从而 .
所以 解得 …………（10分）
（2）若 ,令 ,k是正整数.
当 时,有 ,
,
故 ,从而 ,或2.
由于 是奇数,所以 ,从而 .
于是
这不可能.
当 时, , ；当 , ,无正整数解；当 时, ,无正整数解.
综上所述,所求素数p=5,正整数m=9. …………（20分）
14．从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
首先,如下61个数：11, , ,…, （即1991）满足题设条件. …………（5分）
另一方面,设 是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n个数中的任意4个数 ,因为
, ,
所以 .
因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）
设 ,i=1,2,3,…,n.
由 ,得 ,
所以 , ,即 ≥11. …………（15分）
≤ ,
故 ≤60. 所以,n≤61.
综上所述,n的最大值为61. …………（20分）
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里面有完整的还有图
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）
1．若 ,则 的值为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
由题设得 ．
2．若实数a,b满足 ,则a的取值范围是 （ ）．
（A）a≤ （B）a≥4 （C）a≤ 或 a≥4 （D） ≤a≤4
解．C
因为b是实数,所以关于b的一元二次方程
的判别式 ≥0,解得a≤ 或 a≥4．
3．如图,在四边形ABCD中,∠B＝135°,∠C＝120°,AB= ,BC= ,CD＝ ,则AD边的长为（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
D
如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F．
由已知可得
BE=AE= ,CF＝ ,DF＝2 ,
于是 EF＝4＋ ．
过点A作AG⊥DF,垂足为G．在Rt△ADG中,根据勾股定理得
AD ＝ ．
4．在一列数 ……中,已知 ,且当k≥2时,
（取整符号 表示不超过实数 的最大整数,例如 , ）,则 等于（ ）．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
B
由 和 可得
, , , ,
, , , ,
……
因为2010=4×502+2,所以 =2．
5．如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1,1）,B（2,－1）,C（－2,－1）,D（－1,1）．y轴上一点P（0,2）绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,……,重复操作依次得到点P1,P2,…, 则点P2010的坐标是（ ）．
（A）（2010,2） （B）（2010, ）
（C）（2012, ） （D）（0,2）
B由已知可以得到,点 , 的坐标分别为（2,0）,（2, ）．
记 ,其中 ．
根据对称关系,依次可以求得：
, , , ．
令 ,同样可以求得,点 的坐标为（ ）,即 （ ）,
由于2010=4 502+2,所以点 的坐标为（2010, ）．
二、填空题
6．已知a＝ －1,则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．
0
由已知得 (a＋1)2＝5,所以a2＋2a＝4,于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟,小轿车追上了货车；又过了5分钟,小轿车追上了客车；再过t分钟,货车追上了客车,则t＝ ．
15
设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为 （千米/分）,并设货车经x分钟追上客车,由题意得
, ①
, ② ． ③
由①②,得 ,所以,x=30． 故 （分）．
8．如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0,0）,A（0,6）,B（4,6）,C（4,4）,D（6,4）,E（6,0）．若直线l经过点M（2,3）,且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是 ．
如图,延长BC交x轴于点F；连接OB,AF CE,DF,且相交于点N．
由已知得点M（2,3）是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线 把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5,2）是矩形CDEF的中心,所以,
过点N（5,2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是,直线 即为所求的直线 ．
设直线 的函数表达式为 ,则
解得 ,故所求直线 的函数表达式为 ．
9．如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D．若CD＝CF,则 ．
见题图,设 ．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以 ．
又因为 FC＝DC＝AB,所以 即 ,
解得 ,或 （舍去）．
又Rt△ ∽Rt△ ,所以 , 即 = ．
10．对于i=2,3,…,k,正整数n除以i所得的余数为i－1．若 的最小值 满足 ,则正整数 的最小值为 ．
因为 为 的倍数,所以 的最小值 满足
,
其中 表示 的最小公倍数．
由于
,
因此满足 的正整数 的最小值为 ．
三、解答题（共4题,每题20分,共80分）
11．如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF. 求证： ．
证明：如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都是直径,所以
ED⊥BC, FD⊥BC,
因此D,E,F三点共线. …………（5分）
连接AE,AF,则
,
所以,△ABC∽△AEF. …………（10分）
作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
,
从而 ,
所以 . …………（20分）
12．如图,抛物线 （a 0）与双曲线 相交于点A,B. 已知点A的坐标为（1,4）,点B在第三象限内,且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a,b,k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC‖x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
（1）因为点A（1,4）在双曲线 上,
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为 .
设点B（t, ）, ,AB所在直线的函数表达式为 ,则有
解得 , .
于是,直线AB与y轴的交点坐标为 ,故
,整理得 ,
解得 ,或t＝ （舍去）．所以点B的坐标为（ , ）．
因为点A,B都在抛物线 （a 0）上,所以 解得 …………（10分）
（2）如图,因为AC‖x轴,所以C（ ,4）,于是CO＝4 . 又BO=2 ,所以 .
设抛物线 （a 0）与x轴负半轴相交于点D, 则点D的坐标为（ ,0）.
因为∠COD＝∠BOD＝ ,所以∠COB= .
（i）将△ 绕点O顺时针旋转 ,得到△ .这时,点 ( ,2)是CO的中点,点 的坐标为（4, ）.
延长 到点 ,使得 = ,这时点 （8, ）是符合条件的点.
（ii）作△ 关于x轴的对称图形△ ,得到点 （1, ）；延长 到点 ,使得 ＝ ,这时点E2（2, ）是符合条件的点．
所以,点 的坐标是（8, ）,或（2, ）. …………（20分）
13．求满足 的所有素数p和正整数m.
．由题设得 ,
所以 ,由于p是素数,故 ,或 . ……（5分）
（1）若 ,令 ,k是正整数,于是 ,
,
故 ,从而 .
所以 解得 …………（10分）
（2）若 ,令 ,k是正整数.
当 时,有 ,
,
故 ,从而 ,或2.
由于 是奇数,所以 ,从而 .
于是
这不可能.
当 时, , ；当 , ,无正整数解；当 时, ,无正整数解.
综上所述,所求素数p=5,正整数m=9. …………（20分）
14．从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
首先,如下61个数：11, , ,…, （即1991）满足题设条件. …………（5分）
另一方面,设 是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n个数中的任意4个数 ,因为
, ,
所以 .
因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）
设 ,i=1,2,3,…,n.
由 ,得 ,
所以 , ,即 ≥11. …………（15分）
≤ ,
故 ≤60. 所以,n≤61.
综上所述,n的最大值为61. …………（20分）