灵鹊做题网怎么证明矩阵谱范数满足||A||_2=max{|y'Ax|,||x||_2=1,||y||_2=1},
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/23 23:10:53
怎么证明矩阵谱范数满足||A||_2=max{|y'Ax|,||x||_2=1,||y||_2=1},
这题的证明关键是利用矩阵2范数和最大奇异值之间的关系.
1.首先证明对于任意的x和y,必存在某个酉矩阵Q满足,y = Q * x.
证明：将x和y分别扩充到Cn上的两组酉基X = [x,x2,...,xn]和Y = [y,y2,...,yn],那么X和Y必然等价,即存在酉矩阵Q满足Y = Q * X,取第一列可得y = Q * x.
2.再证：||P * A * Q||2 = ||A||2,其中P和Q都是Cn上的酉阵.这其实是矩阵2范数的一个常用性质.
证明：||A||2 = sqrt(max(eig(A' * A))) = sqrt(max(eig(A' * P' * P * A))) = ||P * A||2
||A||2 = sqrt(max(eig(A * A'))) = sqrt(max(eig(A * Q * Q' * A'))) = ||A * Q||2
=> ||A||2 = ||P * A||2 = ||A * Q||2 = ||P * A * Q||2
3.由1知,对于任意的单位2范数向量y和x,存在酉阵Q满足：Q' * Q = I,y = Q * x,而max|y'Ax| = max|x' * Q' * A * x| = ||Q' * A||2,由2知||Q' * A||2 = ||A||2,证毕!
再问： 谢谢你的回答，你的回答很详细~~ 可是我想问一下第3步中等式max|x' * Q' * A * x| = ||Q' * A||2为什么成立，不是应该 max|x' * A’ * Q * Q' * A * x| = ||Q' * A||2吗，谢谢！！
再答： 不好意思，上面给出的证明是错误的，正确的证明应该基于A的奇异值分 证明： 1. 令矩阵Amn的（胖型）奇异值分解为A = U' * D * V，其中U为m阶的酉阵，V为n阶的酉阵，D为mXn阶的对角阵，且对角元（奇异值）si按照从大到小排列，必然有||A||2 = s1。 2. 根据y' * A * x = y' * U' * D * V * x，记Uy = z，Vx = w，由x和y的任意性可知，向量z和w分别是Cm和Cn上的任意单位2范数向量，且满足y' * A * x = z' * D * w。记z = [z1, z2, ..., zm]t，w = [w1, w2, ..., wn]t。 3. 如果m
1.首先证明对于任意的x和y,必存在某个酉矩阵Q满足,y = Q * x.
证明：将x和y分别扩充到Cn上的两组酉基X = [x,x2,...,xn]和Y = [y,y2,...,yn],那么X和Y必然等价,即存在酉矩阵Q满足Y = Q * X,取第一列可得y = Q * x.
2.再证：||P * A * Q||2 = ||A||2,其中P和Q都是Cn上的酉阵.这其实是矩阵2范数的一个常用性质.
证明：||A||2 = sqrt(max(eig(A' * A))) = sqrt(max(eig(A' * P' * P * A))) = ||P * A||2
||A||2 = sqrt(max(eig(A * A'))) = sqrt(max(eig(A * Q * Q' * A'))) = ||A * Q||2
=> ||A||2 = ||P * A||2 = ||A * Q||2 = ||P * A * Q||2
3.由1知,对于任意的单位2范数向量y和x,存在酉阵Q满足：Q' * Q = I,y = Q * x,而max|y'Ax| = max|x' * Q' * A * x| = ||Q' * A||2,由2知||Q' * A||2 = ||A||2,证毕!
再问： 谢谢你的回答，你的回答很详细~~ 可是我想问一下第3步中等式max|x' * Q' * A * x| = ||Q' * A||2为什么成立，不是应该 max|x' * A’ * Q * Q' * A * x| = ||Q' * A||2吗，谢谢！！
再答： 不好意思，上面给出的证明是错误的，正确的证明应该基于A的奇异值分 证明： 1. 令矩阵Amn的（胖型）奇异值分解为A = U' * D * V，其中U为m阶的酉阵，V为n阶的酉阵，D为mXn阶的对角阵，且对角元（奇异值）si按照从大到小排列，必然有||A||2 = s1。 2. 根据y' * A * x = y' * U' * D * V * x，记Uy = z，Vx = w，由x和y的任意性可知，向量z和w分别是Cm和Cn上的任意单位2范数向量，且满足y' * A * x = z' * D * w。记z = [z1, z2, ..., zm]t，w = [w1, w2, ..., wn]t。 3. 如果m
怎么证明矩阵谱范数满足||A||_2=max{|y'Ax|,||x||_2=1,||y||_2=1},
已知2次函数y=_2\1x*x+bx+c的图像经过a(2,0
解方程组(ax+by=2,cx-7y=8)时,甲得出正确结果为(x=3,y=_2),乙因为吧c写错了,解得(x=_2,y
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