求函数y=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x的最大值和最小值详细解答?

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/04 00:14:22

y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
　　=-(1-2sin²x)/2+1/2+sin2x+3(2cos²x-1)/2+3/2
　　=-cos(2x)/2+3cos(2x)/2+sin2x+2
　　=2+sin(2x)+cos(2x)
　　=2+√2[√2sin(2x)/2+√2cos(2x)/2]
　　=2+√2[sin(2x)cos(π/4)+cos(2x)sin(π/4)]
　　=2+√2sin(2x+π/4)
　　当sin(2x+π/4)=-1时,y有最小值2-√2
　　此时2x+π/4=2kπ-π/2,即x=kπ-3π/8,k∈Z
　　y取最小值时,x的集合是{x|x=kπ-3π/8,k∈Z}
　　当sin(2x+π/4)=1时,y有最大值2+√2
　　此时2x+π/4=2kπ+π/2,即x=kπ+π/8,k∈Z
　　y取最小值时,x的集合是{x|x=kπ+π/8,k∈Z}

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