灵鹊做题网关于曲率的推导过程中不明白的一点
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/01 07:48:50
关于曲率的推导过程中不明白的一点
∵tanα=y'
∴sec²α（dα/dx）=y''
解释下这一步怎么来的?
∵tanα=y'
∴sec²α（dα/dx）=y''
解释下这一步怎么来的?
∵(tanα)'＝sec²α
α又是关于x的函数
但是α与x的函数关系式不能直接找出
∴α对x的求导就暂时写作dα/dx
∴sec²α（dα/dx）=y''
至于求证：lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e,证明如下：
令y＝[1+(1/x)]^x两边同时取自然对数,得：
㏑y＝㏑{[1+(1/x)]^x}
即㏑y＝x㏑[1+(1/x)]
lim(x→∞)x㏑[1+(1/x)]
＝lim(x→∞){㏑[1+(1/x)]}/（1/x）
根据洛必达法则：
lim(x→∞){㏑[1+(1/x)]}/（1/x）
＝lim(x→∞){(-1/x²)[x/（x+1）]}/(-1/x²)
＝lim(x→∞)x²/[x（x+1）]
＝lim(x→∞)2x/2x+2
＝2/2
＝1
∴lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e
再问： 对于你的求证我不置可否，如果你取的不是自然对数，而是取lg呢？那又怎么样？ 曲率推导我还有一点不明白： 参数函数：x=f（t），y=g（t） K=l f '（t）g ''（t）+f ''（t）g '（t）l / [f '²（t）+g '²（t）]^(3/2)
再答： 一样的，取ln是因为求导的时候还是要用到ln，你去lg，求导之后还是要用到ln，取ln只为方便
α又是关于x的函数
但是α与x的函数关系式不能直接找出
∴α对x的求导就暂时写作dα/dx
∴sec²α（dα/dx）=y''
至于求证：lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e,证明如下：
令y＝[1+(1/x)]^x两边同时取自然对数,得：
㏑y＝㏑{[1+(1/x)]^x}
即㏑y＝x㏑[1+(1/x)]
lim(x→∞)x㏑[1+(1/x)]
＝lim(x→∞){㏑[1+(1/x)]}/（1/x）
根据洛必达法则：
lim(x→∞){㏑[1+(1/x)]}/（1/x）
＝lim(x→∞){(-1/x²)[x/（x+1）]}/(-1/x²)
＝lim(x→∞)x²/[x（x+1）]
＝lim(x→∞)2x/2x+2
＝2/2
＝1
∴lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e
再问： 对于你的求证我不置可否，如果你取的不是自然对数，而是取lg呢？那又怎么样？ 曲率推导我还有一点不明白： 参数函数：x=f（t），y=g（t） K=l f '（t）g ''（t）+f ''（t）g '（t）l / [f '²（t）+g '²（t）]^(3/2)
再答： 一样的，取ln是因为求导的时候还是要用到ln，你去lg，求导之后还是要用到ln，取ln只为方便