如何理解函数对称性,周期性和单调性?{请适当地举例}且它们中已知了两个就能推出另一个的依据?

如何理解函数对称性,周期性和单调性?{请适当地举例}且它们中已知了两个就能推出另一个的依据?
抽象函数真让人头疼,对称周期的结论记了又忘,硬要真正理解才有深刻的印象.

简单的说单调性和对称性可以推出周期性,周期性和对称性可以推出单调性~
周期函数的定义及性质
定义：设f(x)是定义在数集M上的函数,如果存在非零常数T具有性质；
（1）对 有（X±T） ；
（2）对 有f（X+T）=f（X）
则称f（X）是数集M上的周期函数,常数T称为f（X）的一个周期.如果在所有正周期中有一个最小的,则称它是函数f（X）的最小正周期.
由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期.
例1 常数值函数f（X）=C（C是常数）是实数集R上以任意非零实数为周期的周期函数.
狄利克莱函数D（X）= 是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数.
由于正实数和正有理数都没有最小的,因而它们都没有最小正周期.
2、性质：
（1）若T（≠0）是f(X)的周期,则-T也是f(X)的周期.
（因f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]= f(X)）.
因而周期函数必定有正周期.
（2）若T（≠0）是f(X)的周期,则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期.
证：当n＞0时,f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-1)T]=……
=f（x+T）= f(X).
当n＜0时,∵-n＞0,由前证和性质1可得：
nT=-（-nT）是f(X)的周期.∴当n为任意非零整数时命题成立.
（3）若T1与T2都是f(X)的周期,则T1±T2也是f(X)的周期.（因f[x+（T1±T2）]=f（x+T1）= f(X)）.
（4）、如果f(X)有最小正周期T*,那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍.否则必存在n1r Z+（Z+为正整数）使T=n1T*+r（0＜r＜T*）,则对 （f(X)的定义域）有f(X)=f（x+T）=f＝（x+n1T*+r）=f（x+r）,∴r也是f(X)的正周期,与T*是f(X)的最小正周期矛盾.∴T必是T*的正整数倍.
（5）T*是f(X)的最小正周期,且T1、T2分别是f(X)的两个周期,则 （Q是有理数集）
证：据条件和性质4知,存在K1、K2 Z,使T1=K1T*,T2=K2T*,∴ .
（6）若T1、T2是f(X)的两个周期,且 是无理数,则f(X)不存在最小正周期.（用反证法据性质5即可证得）.
（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合.
证：若T是f(X)的周期,则nT（n ,n≠0）也是f(X)的周期,∴ 有X±nT M,∴M双方无界,但并非M必定（-∞、+∞）,如tgX和ctgX的定义域分别为X≠Kπ+π/2和X≠Kπ（K ）.
例2：f(X)=sinX（ ≤10π）不是周期函数.
3、周期函数的判定
定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0,X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数.
证：∵T*是f(X)的周期,∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X),∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C,∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数.
假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期,则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期,则对 ,有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0,∵K≠0,∴f(X+T’)- f(X)=0,∴f(X+T’)= f(X),∴T’是f(X)的周期,与T*是f(X)的最小正周期矛盾,∴T*也是K f(X)+C的最小正周期.
同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0,X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数.
定理2：若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数,（其中a、b为常数）.
证：（先证 是f(ax+b)的周期）,∵T*是f(X)的周期,∴ ,有X±T*∈M,∴a（X± ）+b=ax+b±T*∈M,且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期.
再证 是f（ax+b）的最小正周期
假设存在T’（0＜T’＜ ）是f（ax+b）的周期,则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b）,即f（ax+b+aT’）=f（ax+b）,因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数,∴aT’是f(X)的周期,但 ＜ =T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾.
定理3：设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数,且当X∈M1时,g(x)∈M,则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数.
证：设T是u=g(x)的周期,则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是M1上的周期函数.
例3 设=f(u)=u2是非周期函数,u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数,则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数.
同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx),（2）f(X)=Sin(tgx),（3）f(X)=Sin2x,（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数.