已知向量a=(cosa,sina),向量b=(cosβ,sinβ),|向量a+向量b|=根号下(2+根号2)

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/07 19:41:44

已知向量a=(cosa,sina),向量b=(cosβ,sinβ),|向量a+向量b|=根号下(2+根号2)
1)求向量a,b的夹角
2)若pi/2＜α＜pi,-pi/2＜β＜0,sinβ=-3/5,求cos2α

1) 向量a+向量b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ).
|向量+向量b|=√[(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)2]=√(2+√2).
化简,整理,得:cos(α-β)=√2/2.
|向量a|=1,|向量b|=1.
向量a.向量b=cosαcosβ+sinαsinβ.
=cos(α-β)(=√2/2).
cos＜a,b＞=a.b/|a||b|.
=√2/2.
∴＜a,b＞=45°---所求向量a,b的夹角.
2) ∵sinβ=-3/5,∴cosβ=4/5.(-π/2＜β＜0,cosβ＞0)
由(1)得:cos(α-β)=√2/2.
∴α-β=45°.
α=45°+β.
cosα=cos(45°+β).
cosα=cos45°cosβ-sin45° sinβ.
=(√2/2)[(4/5)-(-3/5)].
=7√2/10.
cos2α=2cos^2α-1.
=2*(7√2/10)^2-1.
=2*(98/100)-1.
=2*49/50-1.
=(49-25)/25..
∴cos2α=24/25.
再问：但是π/2 ＜α-β＜3π/2啊
再答：由|向量a+向量b|=cos(α-β)=√2/2＞0,. 则-π/2＜α-β＜π/2., 不应该是π/2＜α-β＜3π/2. 这样, cos(α-β)=√2/2, 则α-β=π/4,或α-β=-π/4. 若α-β=-π/4, 则α=β-π/4. cosα=cosβcosπ/4+sinβsinπ/4. =(√2/2)*[(4/5)+(-3/5)]. =(√2/2)*(1/5). ∴cosα=√2/10. cos2α=2cos^2α-1. =2(√2/10)^2-1. =1/25-1. ∴cos2α=-24/25. ∴cos2α=24/25, 或cos2α=-24/25.

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