1.lim x→0,(tanx-sinx)/(sin2x)^3 2.lim x→0,sin(x-1)tan(x-1)/2

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 07:41:28

1.lim x→0,(tanx-sinx)/(sin2x)^3 2.lim x→0,sin(x-1)tan(x-1)/2(x-1)lnx ..

lim x→0,(tanx-sinx)/(sin2x)^3
应用罗比达法则,分子分母同时求导
上式=lim x→0,(1/(cosx)^2-cosx)/[3*（sin2x)^2*cos2x*2]
=1/6lim x→0(1-(cosx)^3)/(sin2x)^2
再次应用罗比达法则,分子分母同时求导
上式=1/6lim x→0（3(cosx)^2*sinx)/2sin2x*cos2x*2)=1/8lim x→0(sinx/sin2x)=1/16
2.lim x→0,sin(x-1)tan(x-1)/2(x-1)lnx
=-(sin1*tan1)/2lim x→0,1/lnx=0
再问：第一题只能用求导方式做吗?求导还没学。
再答：等阶无穷小学过么？ tanx-sinx=sinx/cosx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx=(sinx*2sin(x/2)^2)/cosx 当x→0，sinx与x等阶无穷小 sin(x/2）与x/2等阶无穷小因此sinx*2sin(x/2)^2)/cosx与1/2*x^3等价无穷小同理，(sin2x)^3与8x^3等价无穷小 lim x→0，(tanx-sinx)/(sin2x)^3 =lim x→0，(1/2*x^3)/(8x^3)=1/16
再问：很感谢，第一题看懂了。能不能解释下第二题，这题也是用等价无穷小做的吗？为什么会是等于-(sin1*tan1)/2
再答：第二题我怀疑你抄错了 x→0，sin(x-1)tan(x-1)/2(x-1)都趋于常数，sin(x-1)→sin(-1), tan(x-1)→tan（-1）（x-1）→-1，只有lnx→负无穷，因此极限为0 原题应该是 x→1吧？
再问：是不是f(x)趋近于正无穷大或负无穷大的时候极限都是0啊？我对极限这方面不是很清楚。
再答：不是的，f(x)趋近于正无穷大或负无穷大的时候，lim,1/f(x)=1/无穷=0 就像第二题，x→0，lnx→负无穷，lim，1/lnx=1/负无穷=0
再问：看不明白，第二题不就是因为x→0，lnx→负无穷，所以极限为0吗？比如3^x，当x→∞，它的极限是等于多少？是无穷大还是0?
再答： lnx→负无穷,1/lnx=0

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