设G=(a),F=(b)是两个有限循环群,G的阶是n,F的阶是m,证明:G与F同态,当且仅当m|n.

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 20:33:45

应该是证明: 存在G到F的满同态, 当且仅当m | n.
G = 作为n阶循环群, 其中的元素可表示为a^i, 0 ≤ i < n.
充分性: 若m | n, 可设n = mk.
定义映射φ: G → F, φ(a^i) = b^i, 0 ≤ i < n.
由F = 是m阶循环群, 其中元素可表示为b^i, 0 ≤ i < m.
而由m | n, 有m ≤ n, 因此φ是满射.
以下验证φ是一个同态: 对任意0 ≤ i, j < n, φ(a^i)φ(a^j) = b^i·b^j = b^(i+j).
当i+j < n, 有φ(a^(i+j)) = b^(i+j) = φ(a^i)φ(a^j).
当i+j ≥ n, 有0 ≤ i+j-n < n, 而a^(i+j) = a^(i+j-n)·a^n = a^(i+j-n).
故φ(a^(i+j)) = φ(a^(i+j-n)) = b^(i+j-n) = b^(i+j)·b^(-mk) = b^(i+j)·(b^m)^(-k) = b^(i+j) = φ(a^i)φ(a^j).
因此φ: G → F是一个满同态.
即当m | n时, 存在G到F的满同态.
必要性: 假设存在满同态φ: G → F.
由同态基本定理, F = im(φ) ≌ G/ker(φ).
作为有限群有m = |F| = |G|/|ker(φ)| = n/|ker(φ)|.
故m | n.
任意两个群之间都存在零同态.
而有限循环群之间存在非零同态的充要条件是m, n不互质.

设G=(a),F=(b)是两个有限循环群,G的阶是n,F的阶是m,证明:G与F同态,当且仅当m|n. 在抽象代数中怎样证明这个证明题:一个循环群G=的阶为n,a^m也为G的生成元的充分必要条件是:(m,n)=1 线性代数习题1、证明若f(x)、g(x)为多项式,A、B是n阶行列式,则f(A)g(A)=g(A)f(A);当AB不等于函数的f(x)=(ax+b)/(cx+a) g(x)=(lx+m)/(nx+l) 且b:c=m:n 证明:f(g(x)) 设f,g均是群到的同态映射,f(G)交g(G)=空集,证明:存在x属于G' 且 x不属于f(g)和g(G)的并集. 设函数的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0 离散数学（子群）设f和g都是到的群同态,且H={x|x∈G1,f(x)=g(x)},证明H是G1的子群. 已知f(x)是定义在R上的函数对任意实数m n都有f(m)f(n)=f(m+n) 且当x1. 设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(m/n)=f(m)-f(n),且当x>1时,f(x)1 设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)*f(n).且当x>0时,f(x)>1. 设f(x)是定义在R上的函数,且对于任意m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)×f(n),当x>0时,f(x) 已知g（x）是{m，n}上的减函数，且a小于等于g（x）小于等于b，f（x）是{a，b}上的增函数，求证；f{g（x）}