灵鹊做题网算概率的简便方法
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 21:30:08
我们老师讲了一个算概率的方法，算总数用什么乘法就算出来了，没听太懂，求解
解题思路： 分类加法计算和分步乘法计算原理
解题过程：
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
知识强化
一、知识概述
学习本节内容时，应通过具体实例，并根据问题特征，正确选择用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理．因此，正确理解两个原理的实质是关键：“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情：“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情．
二、重难点知识归纳
1、分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．
分类加法计数原理可简称为分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情．
2、分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．
注意：分步计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有n个步骤，而这n个步骤缺一不可，当且仅当依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步计数原理．
3、明确事件需要“分类”还是“分步”
应用分类计数原理与分步计数原理首先应分清“类”和“步”．
（1）应用分类计数原理，必须要各类的每一种方法都保证事件的完成；
（2）应用分步计数原理，则是各步均是完成事件必须经由的各个独立的“步”；
（3）“分类”时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．“分步”时要注意“步”与“步”之间的连续性．
三、典型例题剖析
例1、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
分析：
该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类．
解：
根据题意，将十位数上的数字按分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．
由分类加法计数原理知：符合题意的两位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．
∴满足条件的两位数共有36个．
评析：
解决具体问题时，如何分类或分步，开始学习时可能会遇到一点困难，因此需要在不断学习中注意积累经验，掌握思维方法，逐步就会做到恰当分类，合理分步．
例2、现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？
分析：
该问题是计数问题，完成的一件事是排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行．
解：
先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，仍有4种排法；同理，第四、五两天均各有4种排法．由分步计数原理可得值班表共有不同排法数为：5×4×4×4×4＝1280种．
评析：
解决问题时，应理清思路，按事件发生的过程合理分步．
例3、建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法是多少？
解析：
按区域1→2→3→4→5→6的顺序栽花，显然1区有4种，2区3种，3区2种，
如果4区与2区同色，则4区1种，5区2种，6区1种，这样全部花圃的栽种方法数是4×3×2×1×2×1＝48种；
如果4区与2区异色，则4区有1种，当5区与2区同色时，5区1种，6区2种；当5区与2区异色时，5区1种，6区1种，这样全部栽种方法数是4×3×2×1×1×2＋4×3×2×1×1×1＝72种；
由分类计数原理知，共有48＋72＝120种栽种方法.
评析：
步步为营，碰到问题、解决问题，不明确就讨论.
例4、一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
（1）某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？
（2）某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
解析：
（1）从两个袋子中任取一张卡有两类情况：
第1类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；
第2类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法；
根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种不同的取法．
（2）想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：
第1步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法；
第2步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．
根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种不同的取法．
例5、自然数2520有多少个正约数．
解：
先考虑2520的分解，
∵2520＝23×32×5×7，
分四步完成：
第一步：取20，21，22，23有4种；
第二步：取30，31，32有3种；
第三步：取50，51有2种；
第四步：取70，71有2种；
由分步计数原理，共有4×3×2×2＝48个正约数．
例6、某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成.
（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）若每年级选1人为校学生会成员，有多少种不同的选法？
（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
分析：
（1）因为选举1人为学生会主席可以从任何一个年级中选出，所以有三类办法可以完成.又由于不论从哪一年级中选出的方法都是不同的，故这是一个分类计数的问题.
（2）推选学生会常委工作必须是由高一、高二、高三年级依次选出而形成的一个连续过程，只有在三个年级都选出1人后，整个选举工作才算完成.故这是一个分步计算的问题.
（3）由于选出的两人须来自两个不同的年级，因此完成这项选举工作的办法可以分成三类：第一类在高一、高二年级各选出1人；第二类在高二、高三两个年级各选出1人；第三类在高三、高一两个年级各选出1人；其中在每一类中又要分为两个年级分步选出.因此在这一问题中应先用分步计数原理计算出每一类中的不同选法，然后再用分类计数原理得出结果.
解：
（1）根据分类加法计数原理，选其中1人为学生会主席的选法有：N＝5＋6＋4＝15种.
（2）根据分步乘法计数原理，每一年级选1人为校学生会成员的选法有：N＝5×6×4＝120种.
（3）根据分步与分类计数原理，选不同年级的两人参加市里组织活动的选法有：N＝5×6＋6×4＋4×5＝74种.
最终答案：略
解题过程：
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
知识强化
一、知识概述
学习本节内容时，应通过具体实例，并根据问题特征，正确选择用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理．因此，正确理解两个原理的实质是关键：“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情：“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情．
二、重难点知识归纳
1、分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．
分类加法计数原理可简称为分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情．
2、分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．
注意：分步计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有n个步骤，而这n个步骤缺一不可，当且仅当依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步计数原理．
3、明确事件需要“分类”还是“分步”
应用分类计数原理与分步计数原理首先应分清“类”和“步”．
（1）应用分类计数原理，必须要各类的每一种方法都保证事件的完成；
（2）应用分步计数原理，则是各步均是完成事件必须经由的各个独立的“步”；
（3）“分类”时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．“分步”时要注意“步”与“步”之间的连续性．
三、典型例题剖析
例1、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
分析：
该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类．
解：
根据题意，将十位数上的数字按分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．
由分类加法计数原理知：符合题意的两位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．
∴满足条件的两位数共有36个．
评析：
解决具体问题时，如何分类或分步，开始学习时可能会遇到一点困难，因此需要在不断学习中注意积累经验，掌握思维方法，逐步就会做到恰当分类，合理分步．
例2、现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？
分析：
该问题是计数问题，完成的一件事是排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行．
解：
先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，仍有4种排法；同理，第四、五两天均各有4种排法．由分步计数原理可得值班表共有不同排法数为：5×4×4×4×4＝1280种．
评析：
解决问题时，应理清思路，按事件发生的过程合理分步．
例3、建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法是多少？
解析：
按区域1→2→3→4→5→6的顺序栽花，显然1区有4种，2区3种，3区2种，
如果4区与2区同色，则4区1种，5区2种，6区1种，这样全部花圃的栽种方法数是4×3×2×1×2×1＝48种；
如果4区与2区异色，则4区有1种，当5区与2区同色时，5区1种，6区2种；当5区与2区异色时，5区1种，6区1种，这样全部栽种方法数是4×3×2×1×1×2＋4×3×2×1×1×1＝72种；
由分类计数原理知，共有48＋72＝120种栽种方法.
评析：
步步为营，碰到问题、解决问题，不明确就讨论.
例4、一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
（1）某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？
（2）某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
解析：
（1）从两个袋子中任取一张卡有两类情况：
第1类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；
第2类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法；
根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种不同的取法．
（2）想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：
第1步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法；
第2步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．
根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种不同的取法．
例5、自然数2520有多少个正约数．
解：
先考虑2520的分解，
∵2520＝23×32×5×7，
分四步完成：
第一步：取20，21，22，23有4种；
第二步：取30，31，32有3种；
第三步：取50，51有2种；
第四步：取70，71有2种；
由分步计数原理，共有4×3×2×2＝48个正约数．
例6、某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成.
（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）若每年级选1人为校学生会成员，有多少种不同的选法？
（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
分析：
（1）因为选举1人为学生会主席可以从任何一个年级中选出，所以有三类办法可以完成.又由于不论从哪一年级中选出的方法都是不同的，故这是一个分类计数的问题.
（2）推选学生会常委工作必须是由高一、高二、高三年级依次选出而形成的一个连续过程，只有在三个年级都选出1人后，整个选举工作才算完成.故这是一个分步计算的问题.
（3）由于选出的两人须来自两个不同的年级，因此完成这项选举工作的办法可以分成三类：第一类在高一、高二年级各选出1人；第二类在高二、高三两个年级各选出1人；第三类在高三、高一两个年级各选出1人；其中在每一类中又要分为两个年级分步选出.因此在这一问题中应先用分步计数原理计算出每一类中的不同选法，然后再用分类计数原理得出结果.
解：
（1）根据分类加法计数原理，选其中1人为学生会主席的选法有：N＝5＋6＋4＝15种.
（2）根据分步乘法计数原理，每一年级选1人为校学生会成员的选法有：N＝5×6×4＝120种.
（3）根据分步与分类计数原理，选不同年级的两人参加市里组织活动的选法有：N＝5×6＋6×4＋4×5＝74种.
最终答案：略