已知x的二次三项式ax^2+bx+c对于x的所有整数值,都表示平方数(整数的平方).证明:a、b都是整数
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 13:04:39
已知x的二次三项式ax^2+bx+c对于x的所有整数值,都表示平方数(整数的平方).证明:a、b都是整数
(1)
f(x) = ax^2+bx + c
f(0) = c
=> c 是整数
f(1) = a + b + c (1)
f(-1) = a -b + c (2)
(1) -(2)
2b = f(1) - f(-1)
=>2b 是整数
(1) +(2)
2a + 2c = f(1) + f(-1)
2a = f(1) + f(-1) -2c
=>2a是整数
再问: 你还没有解释完呢 为什么a,b是整数?
再问: 没证完额。。。 a和b为什么是整数? 帮下忙谢了
再答: 令x=2,-2时,可设a•22+b•2+c=m22③a•(-2)2+b•(-2)+c=n22④c=k12(m2n2k1均为整数), ③-④得:4b=m22-n22=(m2+n2)(m2-n2)=2(2b), ∵2b为整数, ∴2(2b)为偶数,则m22-n22为偶数, ∴(m2+n2),(m2-n2)同奇同偶, 则可设(m2+n2)=2m,(m2-n2)=2n(m,n均为整数), ∴4b=2m•2n=4mn, ∴b=mn, ∴b为整数
f(x) = ax^2+bx + c
f(0) = c
=> c 是整数
f(1) = a + b + c (1)
f(-1) = a -b + c (2)
(1) -(2)
2b = f(1) - f(-1)
=>2b 是整数
(1) +(2)
2a + 2c = f(1) + f(-1)
2a = f(1) + f(-1) -2c
=>2a是整数
再问: 你还没有解释完呢 为什么a,b是整数?
再问: 没证完额。。。 a和b为什么是整数? 帮下忙谢了
再答: 令x=2,-2时,可设a•22+b•2+c=m22③a•(-2)2+b•(-2)+c=n22④c=k12(m2n2k1均为整数), ③-④得:4b=m22-n22=(m2+n2)(m2-n2)=2(2b), ∵2b为整数, ∴2(2b)为偶数,则m22-n22为偶数, ∴(m2+n2),(m2-n2)同奇同偶, 则可设(m2+n2)=2m,(m2-n2)=2n(m,n均为整数), ∴4b=2m•2n=4mn, ∴b=mn, ∴b为整数
已知x的二次三项式ax^2+bx+c对于x的所有整数值,都表示平方数(整数的平方).证明:a、b都是整数
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