灵鹊做题网从1到10的10次方这10的10次方个数中,所有数位上有且只有一个零的自然数有多少个?
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/26 15:48:53
从1到10的10次方这10的10次方个数中,所有数位上有且只有一个零的自然数有多少个?
要用最简单的式子表达
要用最简单的式子表达
10的10次方就是有从1位到 11位的数,我设一共有S个这样的数
1位数只有1个,就是0
2位数,由于十位不能为0,那么只能把个位定为0,变动十位,共9个10~90
3位数,同样百位不能为0,动十位和个位的,十位为0,个位可以从1~9共9种,百位也可以从1~9也是9种,互相这么搭配就是9*9=81种（不信自己试,反正数字不大）
同样当个位为0,十位和百位变也有9*9=81种
那么3位数共81*2=162种
4位数,千位不为 0,分别固定百,十,个位,每种固定方法得到的数量一样
那么用举例,个位为0,变其他3位,各有9种,即9*9*9=729
那么3次固定就是729*3=2187
5,位也同样是这么个道理,以下我就依次类推,只给答案了
9*9*9*9*4
6位,9*9*9*9*9*5
7位,9*9*9*9*9*9*6
所以这规律就是：设位数为N,那么N位数中有要求的数的数量是
9的（N-1）次方*（N-1）
所以10位数就是（因为11位只有10的10次方,不属于要求的数,可以不管）
9*9*9*9*9*9*9*9*9*9=9的10次方
然后全部加起来
整理下就是：
1+9的平方*2+9的立方*3+9的4次方*4+…………+9的9次方*9=S
利用高一第一学期用的错位相减法,
首先左右两边同时*9,得：
9+9的立方*2+9的4次方*3+9的5次方*4+…………+9的9次方*8+9的10次方*9=9S
最后就是用下面的减去上面的,：
8S=8-9的平方*2-9的立方-9的4次方-9的5次方…………-9的9次方+9的10次方*9
再整理：
8S=8-9的平方-（9的平方+9的立方+9的4次方+…………+9的9次方）+9的10次方*9
8-9的平方就是8-81=-73,提个-9就是-64-9
8S=-64-（9+9的平方+9的立方+…………+9的9次方）+9的10次方*9
这样中间的括号里面的就成了个等比数列
公式是：（首项*（1-公比的N次方））/（1-公比）
那么带入：（9*（1-9的9次方））/（1-9）
给个数据：9的10次方就是3486784401,9的11次方就是31381059609
那么括号里面的东西最后就是（9-9的10次方）/（-8）=435848049
那么就得8S=-64-435848049+31381059609
最后结果是：3868151437.
郁闷.才10分累啊,这数字又大,算瞢了我都.
我也不晓得错不错,反正思路和方法是对的,这也就够了把.
能不能追加啊?
PS:什么叫做最简单的哦.
反正是个等比数列然后加一些数出来的.
1楼的说的是啥呢.
1位数只有1个,就是0
2位数,由于十位不能为0,那么只能把个位定为0,变动十位,共9个10~90
3位数,同样百位不能为0,动十位和个位的,十位为0,个位可以从1~9共9种,百位也可以从1~9也是9种,互相这么搭配就是9*9=81种（不信自己试,反正数字不大）
同样当个位为0,十位和百位变也有9*9=81种
那么3位数共81*2=162种
4位数,千位不为 0,分别固定百,十,个位,每种固定方法得到的数量一样
那么用举例,个位为0,变其他3位,各有9种,即9*9*9=729
那么3次固定就是729*3=2187
5,位也同样是这么个道理,以下我就依次类推,只给答案了
9*9*9*9*4
6位,9*9*9*9*9*5
7位,9*9*9*9*9*9*6
所以这规律就是：设位数为N,那么N位数中有要求的数的数量是
9的（N-1）次方*（N-1）
所以10位数就是（因为11位只有10的10次方,不属于要求的数,可以不管）
9*9*9*9*9*9*9*9*9*9=9的10次方
然后全部加起来
整理下就是：
1+9的平方*2+9的立方*3+9的4次方*4+…………+9的9次方*9=S
利用高一第一学期用的错位相减法,
首先左右两边同时*9,得：
9+9的立方*2+9的4次方*3+9的5次方*4+…………+9的9次方*8+9的10次方*9=9S
最后就是用下面的减去上面的,：
8S=8-9的平方*2-9的立方-9的4次方-9的5次方…………-9的9次方+9的10次方*9
再整理：
8S=8-9的平方-（9的平方+9的立方+9的4次方+…………+9的9次方）+9的10次方*9
8-9的平方就是8-81=-73,提个-9就是-64-9
8S=-64-（9+9的平方+9的立方+…………+9的9次方）+9的10次方*9
这样中间的括号里面的就成了个等比数列
公式是：（首项*（1-公比的N次方））/（1-公比）
那么带入：（9*（1-9的9次方））/（1-9）
给个数据：9的10次方就是3486784401,9的11次方就是31381059609
那么括号里面的东西最后就是（9-9的10次方）/（-8）=435848049
那么就得8S=-64-435848049+31381059609
最后结果是：3868151437.
郁闷.才10分累啊,这数字又大,算瞢了我都.
我也不晓得错不错,反正思路和方法是对的,这也就够了把.
能不能追加啊?
PS:什么叫做最简单的哦.
反正是个等比数列然后加一些数出来的.
1楼的说的是啥呢.
从1到10的10次方这10的10次方个数中,所有数位上有且只有一个零的自然数有多少个?
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从1到1000的所有自然数中,有多少个数乘54后是完全平方数