灵鹊做题网举一个函数连续但方向导数不存在的例子
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 15:26:20
举一个函数连续但方向导数不存在的例子
z=根号下（x^2+y^2）在（0,0）点连续,但是任何方向的方向导数不存在,因为两侧一个是递减速度为一,一个递增速度为一.这点类似于|x|在0点的可导性.
再问： z=根号下（x^2+y^2）在（0，0）点连续，在（0，0）点任何方向的方向导数都为1，方向导数存在。
再答： 不对,lim f(tx)-f(0)/t= |t|/t, 极限不存在。你可以查科大的分析教材，就是这个例子，在109页的例三。
再问： 但是按方向导数的定义这个函数在（0，0）点任何方向方向导数都为1，你给的那个式子是求偏导的吧。这个函数在（0，0）处偏导不存在，但方向导数是存在的。
再答： 哦，可能是你们高等数学中的方向导数的定义和我们数学分析稍微有点差别。数学分析书上一般采用lim f(tx)-f(0)/t当t趋向于零的时候的极限，这里t不要求大于零。你们可能要求t大于零。下面的例子估计可以解决你的问题。 f(x)=(|x|+|y|)sin {1/(x^2+y^2)}, （0,0）处取值为零。这个函数连续，但是在原点处，任何方向的方向导数都不存在。
再问： z=根号下（x^2+y^2）在（0，0）点连续，在（0，0）点任何方向的方向导数都为1，方向导数存在。
再答： 不对,lim f(tx)-f(0)/t= |t|/t, 极限不存在。你可以查科大的分析教材，就是这个例子，在109页的例三。
再问： 但是按方向导数的定义这个函数在（0，0）点任何方向方向导数都为1，你给的那个式子是求偏导的吧。这个函数在（0，0）处偏导不存在，但方向导数是存在的。
再答： 哦，可能是你们高等数学中的方向导数的定义和我们数学分析稍微有点差别。数学分析书上一般采用lim f(tx)-f(0)/t当t趋向于零的时候的极限，这里t不要求大于零。你们可能要求t大于零。下面的例子估计可以解决你的问题。 f(x)=(|x|+|y|)sin {1/(x^2+y^2)}, （0,0）处取值为零。这个函数连续，但是在原点处，任何方向的方向导数都不存在。
举一个函数连续但方向导数不存在的例子
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