设f(x)在x=0的某邻域内连续,且lim x→0 [xf(x)-ln(1+x)]/x^2=2,求f(0),并证明f`（

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 10:25:14

设f(x)在x=0的某邻域内连续,且lim x→0 [xf(x)-ln(1+x)]/x^2=2,求f(0),并证明f`（0）存在并求之
答案第一步说由lim x→0 [xf(x)-ln(1+x)]/x^2=2及极限与无穷小的关系,解得f(x)=[(2+a)x^2+ln(1+x)]/x,其中lim x→0 a=0.这是怎么算出来的.

lim x→0 [xf(x)-ln(1+x)]/x^2=2
[xf(x)-ln(1+x)]/x^2=2+a a是一个无穷小量,lim x→0 a=0
这就相当于 lim x→0 f(x)=A 那么f(x)=A+a a是一个无穷小量.lim x→0 a=0.这是无穷小引理.
下面解之.
已知f(x)在x=0的某邻域内连续,所以,极限值等于函数值
f(0)=lim x→0 f(x)=lim x→0 [(2+a)x^2+ln(1+x)]/x =洛必达法则=limx→0 2(2+a)x+1/(1+x) =1
f(0)=1
f'(0)=lim x→0 [f(x)-f(0)]/x =lim x→0 [f(x)-1]/x =lim x→0 [(2+a)x^2+ln(1+x)-1]/x 同样用洛必达法则,得f'(0)=1

设f(x)在x=0的某邻域内连续,且lim x→0 [xf(x)-ln(1+x)]/x^2=2,求f(0),并证明f`（求lim（x→0）[(xf'(x))/(2f(x))]^(1/x),其中f(x)在x=0点某邻域内有三阶连续导数,f(0 设函数f(x)在点x=0的邻域内连续,极限A=lim((3f(x)-2)/x+ln(1+x)/x^2))其中x趋向于0, 设f(x)在x=0的某一邻域内二阶可导,且lim(x-->0)f(x)/x=0,f''(0)=2.求lim(x-->0) f(x)在x=0的某邻域内二阶可导,且lim (x->0) (sin3x/x^3 + f(x)/x^2) =0,求lim 设f(x)在x=0连续,且lim(x+sinx)/ln[f(x)+2]=1x趋近于0,则f'(0)? 设f(x)有二阶导数,在x=0的某去心邻域内f(x)≠0,且lim f(x)/x=0,f'(0)=4,求lim (1+f 设函数f(x)在点a的某邻域内二阶可导,且f’(a)≠0,求lim(x→a) [1/ f’(a)(x-a)- 1/ f( 设f(x)在x=0处存在二阶导数,且lim(x→0)(xf(x)-ln(1+x))/x^3=1/3求f(0),f'(0) 设f（x）在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且limx→0f(x)x=0，证明级数∞n＝1f（1n）绝对收敛当x→0时,lim[ln(1+2x)+xf(x)]/x^2=2,求lim[2+f(x)]/x 要求详细解释当x→0时,lim[ln(1+2x)+xf(x)]/x^2=2,求lim[2+f(x)]/x