灵鹊做题网求dy/dx +xy =x(y^2)的通解 和 y' -y=x的通解
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/28 13:07:01
求dy/dx +xy =x(y^2)的通解 和 y' -y=x的通解
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①dy/dx+xy=xy²
dy=x(y²-y)dx
xdx=dy/(y²-y)=dy/(y-1)-dy/y
两边分别积分,得
x²/2+C=ln[(y-1)/y]
整理得
y=1/[1-Ce^(x²/2)]
②y'-y=x
齐次方程y'-y=0的通解为
y=Ce^x
设非齐次y'-y=x的通解为
y=ue^x,则
y'=u'e^x+ue^x
带入原方程得
(u'e^x+ue^x)-ue^x=u'e^x=x
易解得
u=-(x+1)e^(-x)+C
∴原方程的通解为
y=ue^x=-(x+1)+Ce^x
dy=x(y²-y)dx
xdx=dy/(y²-y)=dy/(y-1)-dy/y
两边分别积分,得
x²/2+C=ln[(y-1)/y]
整理得
y=1/[1-Ce^(x²/2)]
②y'-y=x
齐次方程y'-y=0的通解为
y=Ce^x
设非齐次y'-y=x的通解为
y=ue^x,则
y'=u'e^x+ue^x
带入原方程得
(u'e^x+ue^x)-ue^x=u'e^x=x
易解得
u=-(x+1)e^(-x)+C
∴原方程的通解为
y=ue^x=-(x+1)+Ce^x