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已知函数f(x)=lnx-ax,a为常数.若函数f(x)有两个零点x1,x2,试证明x1x2>e^2

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 04:43:06
已知函数f(x)=lnx-ax,a为常数.若函数f(x)有两个零点x1,x2,试证明x1x2>e^2
已知函数f(x)=lnx-ax,a为常数.若函数f(x)有两个零点x1,x2,试证明x1x2>e^2
先求导y'=1/x-a,令y'=0,x=1/a,可得函数在1/a处取得最大值为-lna+1>0,得00就可得x2>2/a-x1
设函数g(x)=ln(2/a-x)-a(2/a-x)-(lnx-ax),
g'(x)=1/(x-2/a)+2a-1/x=2a(x-1/a)^2/[x(x-2/a)],可得在(0,2/a)上g'(x)0,
所以ln(2/a-x1)-a(2/a-x1)>0,得证.