灵鹊做题网请教几个有关线性代数的问题,有关方阵对角化和方阵相似,方阵合同,以及二次型.
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 02:17:42
请教几个有关线性代数的问题,有关方阵对角化和方阵相似,方阵合同,以及二次型.
1,是不是任意一组线性无关的向量都能正交化?
2,是不是任意一个可对角化的方阵,都存在正交阵C,使得CtAC=正交阵?（我是这么推理的：n阶方阵A可对角化----A有n个线性无关的特征向量----特征向量组成的矩阵可正交化----有正交矩阵C使得CtAC=对角阵.这样推理成立吗?）
3,合同、相似、可对角化、对称矩阵之间的关系是什么呢?
4,用配方法求二次型时,配方要配成什么样才对啊?（考研复习全书,李永乐、李正元的那本,数一,466页,例6.2评注里说 “（*）不是坐标变换” 什么样的才是坐标变换?怎么看出来哪个是坐标变换哪个不是啊?怎么保证配方结果一定是坐标变换呢?）
问题比较多,麻烦各位了.
1,是不是任意一组线性无关的向量都能正交化?
2,是不是任意一个可对角化的方阵,都存在正交阵C,使得CtAC=正交阵?（我是这么推理的：n阶方阵A可对角化----A有n个线性无关的特征向量----特征向量组成的矩阵可正交化----有正交矩阵C使得CtAC=对角阵.这样推理成立吗?）
3,合同、相似、可对角化、对称矩阵之间的关系是什么呢?
4,用配方法求二次型时,配方要配成什么样才对啊?（考研复习全书,李永乐、李正元的那本,数一,466页,例6.2评注里说 “（*）不是坐标变换” 什么样的才是坐标变换?怎么看出来哪个是坐标变换哪个不是啊?怎么保证配方结果一定是坐标变换呢?）
问题比较多,麻烦各位了.
1.如果仅仅正交化那一定是可以的,如果还要单位化,在实数域或复数域上是可以的,有理数域就不行,主要是正数开平方运算要封闭.
2.不是,你的推理的错误在于
特征向量组成的矩阵可正交化----有正交矩阵C使得CtAC=对角阵
特征向量经过正交化之后就不保证仍然是特征向量了
特征向量在一定意义上是唯一的,不同特征值对应的特征向量不能随意做线性组合
3.实对称矩阵一定正交相似于对角阵
注意正交相似既是相似变换又是合同变换
4.这种书不要看,太差了
再问： 特征矩阵正交化的时候，不同特征值对应的特征向量一定正交，就不用算了，同一特征值对应的正交向量才去做正交运算，可同一特征值下的特征向量做线性运算后还是特征向量啊，不是吗？为什么特征向量正交化后就不是特征向量了？不明白啊。
再答： "不同特征值对应的特征向量一定正交，就不用算了" 只有正规矩阵才能保证这条性质，对于一般的矩阵而言不是不需要算，而是不可以算。 “可同一特征值下的特征向量做线性运算后还是特征向量” 对。 只有求酉相似变换的时候才需要做正交化，如果只要普通的相似变换就不需要额外做正交化了。 去找本好一点的教材（但不要看同济的），把原理搞搞清楚，而不要只背结论。你问的第二个问题已经显示出你完全没搞懂。
2.不是,你的推理的错误在于
特征向量组成的矩阵可正交化----有正交矩阵C使得CtAC=对角阵
特征向量经过正交化之后就不保证仍然是特征向量了
特征向量在一定意义上是唯一的,不同特征值对应的特征向量不能随意做线性组合
3.实对称矩阵一定正交相似于对角阵
注意正交相似既是相似变换又是合同变换
4.这种书不要看,太差了
再问： 特征矩阵正交化的时候，不同特征值对应的特征向量一定正交，就不用算了，同一特征值对应的正交向量才去做正交运算，可同一特征值下的特征向量做线性运算后还是特征向量啊，不是吗？为什么特征向量正交化后就不是特征向量了？不明白啊。
再答： "不同特征值对应的特征向量一定正交，就不用算了" 只有正规矩阵才能保证这条性质，对于一般的矩阵而言不是不需要算，而是不可以算。 “可同一特征值下的特征向量做线性运算后还是特征向量” 对。 只有求酉相似变换的时候才需要做正交化，如果只要普通的相似变换就不需要额外做正交化了。 去找本好一点的教材（但不要看同济的），把原理搞搞清楚，而不要只背结论。你问的第二个问题已经显示出你完全没搞懂。