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七年级奥数题及答案
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一、选择题（每题1分,共5分）
以下每个题目里给出的A,B,C,D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．
1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%,则前年比去年少的百分数是\x09( A )
A．a%． \x09B．(1+a)%． C. \x09 D.
2．甲杯中盛有2m毫升红墨水,乙杯中盛有m毫升蓝墨水,从甲杯倒出a毫升到乙杯里,
0＜a＜m,搅匀后,又从乙杯倒出a毫升到甲杯里,则这时\x09( A )
A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．
B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．
C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．
D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．
3.已知数x=100,则( A )
A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．
C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．
4．观察图1中的数轴：用字母a,b,c依次表示点A,B,C对应的数,则 的大小关系是( C )

A. ; B. < < ; C. < < ; D. < < .
5．x=9,y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解,这个方程的不同的整数解共有\x09( )
A．2组．\x09B．6组．C．12组．\x09D．16组．
二、填空题（每题1分,共5分）
1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．
2．对于任意有理数x,y,定义一种运算*,规定x*y=ax+by－cxy,其中的a,b,c表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3,2*3=4,x*m=x（m≠0）,则m的数值是______．
3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门,他知道每把钥匙只能开其中的一个门,但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙,现在要打开所有关闭着的20个房间,他最多要试开______次．
4．当m=______时,二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x,y的二元一次三项式的乘积．
5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．
三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分,共15分）
1．两辆汽车从同一地点同时出发,沿同一方向同速直线行驶,每车最多只能带24桶汽油,途中不能用别的油,每桶油可使一辆车前进60公里,两车都必须返回出发地点,但是可以不同时返回,两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点,另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回?离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里?
2．如图2,纸上画了四个大小一样的圆,圆心分别是A,B,C,D,直线m通过A,B,直线n通过C,D,用S表示一个圆的面积,如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1),直线m,n之间被圆盖住的面积是8,阴影部分的面积S1,S2,S3满足关系式S3= S1= S2,求S．

3.求方程 的正整数解.
初中数学竞赛辅导
2．设a,b,c为实数,且｜a｜+a=0,｜ab｜=ab,｜c｜-c=0,求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．
3．若m＜0,n＞0,｜m｜＜｜n｜,且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n, 求x的取值范围．
4．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x1＋a0,试求a0+a2＋a4＋a6的值．
6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．
8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．
10．x,y,z均是非负实数,且满足： x＋3y＋2z=3,3x＋3y+z=4, 求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值．
11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．
13．如图1－89所示．AOB是一条直线,OC,OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线,∠COD=55°．求∠DOE的补角．
14．如图1－90所示．BE平分∠ABC,∠CBF=∠CFB=55°,∠EDF=70°．求证：BC‖AE．
15．如图1－91所示．在△ABC中,EF⊥AB,CD⊥AB,∠CDG=∠BEF．求证：∠AGD=∠ACB．
17．如图1－93所示．在△ABC中,E为AC的中点,D在BC上,且BD∶DC=1∶2,AD与BE交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比．
18．如图1－94所示．四边形ABCD两组对边延长相交于K及L,对角线AC‖KL,BD延长线交KL于F．求证：KF=FL．
19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999?说明理由．
20．设有一张8行、8列的方格纸,随便把其中32个方格涂上黑色,剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”,每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸?
23．房间里凳子和椅子若干个,每个凳子有3条腿,每把椅子有4条腿,当它们全被人坐上后,共有43条腿(包括每个人的两条腿),问房间里有几个人?
24．求不定方程49x-56y+14z=35的整数解．
25．男、女各8人跳集体舞．
(1)如果男女分站两列；
(2)如果男女分站两列,不考虑先后次序,只考虑男女如何结成舞伴． 问各有多少种不同情况?
26．由1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中,有多少个大于34152?
27．甲火车长92米,乙火车长84米,若相向而行,相遇后经过1.5秒(s)两车错过,若同向而行相遇后经6秒两车错过,求甲乙两火车的速度．
28．甲乙两生产小队共同种菜,种了4天后,由甲队单独完成剩下的,又用2天完成．若甲单独完成比乙单独完成全部任务快3天．求甲乙单独完成各用多少天?
29．一船向相距240海里的某港出发,到达目的地前48海里处,速度每小时减少10海里,到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等,求原来的速度．16
30．某工厂甲乙两个车间,去年计划完成税利750万元,结果甲车间超额15％完成计划,乙车间超额10％完成计划,两车间共同完成税利845万元,求去年这两个车间分别完成税利多少万元?
31．已知甲乙两种商品的原价之和为150元．因市场变化,甲商品降价10％,乙商品提价20％,调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了1％,求甲乙两种商品原单价各是多少?
32．小红去年暑假在商店买了2把儿童牙刷和3支牙膏,正好把带去的钱用完．已知每支牙膏比每把牙刷多1元,今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙刷和牙膏,因为今年的牙刷每把涨到1.68元,牙膏每支涨价30％,小红只好买2把牙刷和2支牙膏,结果找回4角钱．试问去年暑假每把牙刷多少钱?每支牙膏多少钱?
33．某商场如果将进货单价为8元的商品,按每件12元卖出,每天可售出400件,据经验,若每件少卖1元,则每天可多卖出200件,问每件应减价多少元才可获得最好的效益?
34．从A镇到B镇的距离是28千米,今有甲骑自行车用0．4千米/分钟的速度,从A镇出发驶向B镇,25分钟以后,乙骑自行车,用0．6千米/分钟的速度追甲,试问多少分钟后追上甲?
35．现有三种合金：第一种含铜60％,含锰40％；第二种含锰10％,含镍90％；第三种含铜20％,含锰50％,含镍30％．现各取适当重量的这三种合金,组成一块含镍45％的新合金,重量为1千克．
(1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；
(2)求新合金中含第二种合金的重量范围；
(3)求新合金中含锰的重量范围．
｜=-a,所以a≤0,又因为｜ab｜=ab,所以b≤0,因为｜c｜=c,所以c≥0．所以a＋b≤0,c-b≥0,a-c≤0．所以
原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．
3．因为m＜0,n＞0,所以｜m｜=-m,｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当x+m≥0时,｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时,｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时,
｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．
4．分别令x=1,x=-1,代入已知等式中,得
a0+a2＋a4＋a6=-8128．
10．由已知可解出y和z
因为y,z为非负实数,所以有
u=3x-2y+4z
11. 所以商式为x2-3x+3,余式为2x-4
12．小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1－97所示)．
我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段)．设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直线)的对称点是甲′；乙村关于南山坡的对称点是乙′,连接甲′乙′,设甲′乙′所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是A,B,则从甲→A→B→乙的路线的选择是最好的选择(即路线最短）
显然,路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线,利用上面的对称方法,都可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线．它们的长度都大于线段甲′乙′．所以,从甲→A→B→乙的路程最短．
13．如图1－98所示．因为OC,OE分别是∠AOD,∠DOB的角平分线,又 ∠AOD+∠DOB=∠AOB=180°, 所以 ∠COE=90°．
因为 ∠COD=55°, 所以∠DOE=90°-55°=35°．
因此,∠DOE的补角为 180°-35°＝145°．
14．如图1－99所示．因为BE平分∠ABC,所以
∠CBF=∠ABF,
又因为 ∠CBF=∠CFB, 所以 ∠ABF=∠CFB．
从而 AB‖CD(内错角相等,两直线平行)．
由∠CBF=55°及BE平分∠ABC,所以 ∠ABC=2×55°=110°． ①
由上证知AB‖CD,所以 ∠EDF=∠A=70°, ②
由①,②知 BC‖AE(同侧内角互补,两直线平行)．
15．如图1-100所示．EF⊥AB,CD⊥AB,所以 ∠EFB=∠CDB=90°,
所以EF‖CD(同位角相等,两直线平行)．所以 ∠BEF=∠BCD(两直线平行,同位角相等)．
①又由已知 ∠CDG=∠BEF． ② 由①,② ∠BCD=∠CDG．
所以 BC‖DG(内错角相等,两直线平行)．
所以 ∠AGD=∠ACB(两直线平行,同位角相等)．
16．在△BCD中,
∠DBC＋∠C=90°(因为∠BDC=90°),① 又在△ABC中,∠B=∠C,所以
∠A＋∠B＋∠C=∠A＋2∠C=180°,
所以 由①,②
17．如图1－101,设DC的中点为G,连接GE．在△ADC中,G,E分别是CD,CA的中点．所以,GE‖AD,即在△BEG中,DF‖GE．从而F是BE中点．连结FG．所以
又 S△EFD＝S△BFG-SEFDG=4S△BFD-SEFDG,
所以 S△EFGD=3S△BFD．
设S△BFD=x,则SEFDG=3x．又在△BCE中,G是BC边上的三等分点,所以 S△CEG=S△BCEE,
从而 所以 SEFDC=3x＋2x＝5x,
所以 S△BFD∶SEFDC=1∶5．
18．如图1－102所示．
由已知AC‖KL,所以S△ACK=S△ACL,所以
即 KF=FL． ＋b1=9,a+a1=9,于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9,即2(a十b＋c)=27,矛盾!
20．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格,其中0≤k≤8．当改变方格的颜色时,得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此,操作一次后,黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个,即增加了一个偶数．于是无论如何操作,方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以,从原有的32个黑色方格(偶数个),经过操作,最后总是偶数个黑色方格,不会得到恰有一个黑色方格的方格纸．
21．大于3的质数p只能具有6k＋1,6k＋5的形式．若p=6k＋1(k≥1),则p+2=3(2k＋1)不是质数,所以, p=6k＋5(k≥0)．于是,p＋1=6k＋6,所以,6｜(p＋1)．
22．由题设条件知n=75k=3×52×k．欲使n尽可能地小,可设n=2α3β5γ(β≥1,γ≥2),且有 (α+1)(β+1)(γ＋1)=75．
于是α＋1,β+1,γ＋1都是奇数,α,β,γ均为偶数．故取γ=2．这时 (α+1)(β+1)=25．
所以 故(α,β)=(0,24),或(α,β)=(4,4),即n=20•324•52
23．设凳子有x只,椅子有y只,由题意得 3x＋4y+2(x+y)＝43,
即 5x+6y＝43．
所以x=5,y=3是唯一的非负整数解．从而房间里有8个人．
24．原方程可化为
7x-8y+2z＝5．
令7x-8y=t,t＋2z=5．易见x=7t,y=6t是7x-8y=t的一组整数解．所以它的全部整数解是
而t=1,z=2是t＋2z=5的一组整数解．它的全部整数解是
把t的表达式代到x,y的表达式中,得到原方程的全部整数解是
25．(1)第一个位置有8种选择方法,第二个位置只有7种选择方法,…,由乘法原理,男、女各有 8×7×6×5×4×3×2×1＝40320
种不同排列．又两列间有一相对位置关系,所以共有2×403202种不同情况．
(2)逐个考虑结对问题．
与男甲结对有8种可能情况,与男乙结对有7种不同情况,…,且两列可对换,所以共有 2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640 种不同情况．
26．万位是5的有4×3×2×1=24(个)．
万位是4的有 4×3×2×1=24(个)．
万位是3,千位只能是5或4,千位是5的有3×2×1=6个,千位是4的有如下4个：
34215,34251,34512,34521．
所以,总共有 24+24＋6+4＝58
个数大于34152．
27．两车错过所走过的距离为两车长之总和,即 92＋84=176(米)．
设甲火车速度为x米/秒,乙火车速度为y米/秒．两车相向而行时的速度为x+y；两车同向而行时的速度为x-y,依题意有
解之得
解之得x=9(天),x＋3=12(天)．
解之得x=16(海里/小时)．
经检验,x=16海里/小时为所求之原速．
30．设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元．依题意得
解之得
故甲车间超额完成税利
乙车间超额完成税利
所以甲共完成税利400+60=460(万元),乙共完成税利350+35=385(万元)．
31．设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元,依题意可得
由②有
0.9x+1.2y=148.5, ③
由①得x=150-y,代入③有
0. 9(150-y)＋1.2y＝148. 5,
解之得y=45(元),因而,x=105(元)．
32．设去年每把牙刷x元,依题意得
2×1.68＋2(x+1)(1+30％)=[2x＋3(x+1)]-0.4,
即 2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6,
即 2.4x=2×1.68,
所以 x=1.4(元)．
若y为去年每支牙膏价格,则y=1.4＋1=2.4(元)．
33．原来可获利润4×400=1600元．设每件减价x元,则每件仍可获利(4-x)元,其中0＜x＜4．由于减价后,每天可卖出(400+200x)件,若设每天获利y元,则
y＝(4-x)(400+200x)
＝200(4-x)(2+x)
=200(8＋2x-x2)
=-200(x2-2x+1)＋200+1600
=-200(x-1)2+1800．
所以当x=1时,y最大=1800(元)．即每件减价1元时,获利最大,为1800元,此时比原来多卖出200件,因此多获利200元．
34．设乙用x分钟追上甲,则甲到被追上的地点应走了(25+x)分钟,所以甲乙两人走的路程分别是0．4(25+x)千米和0．6x千米．因为两人走的路程相等,所以
0.4(25+x)=0.6x,
解之得x=50分钟．于是
左边=0.4(25＋50)=30(千米),
右边= 0.6×50=30(千米),
即乙用50分钟走了30千米才能追上甲．但A,B两镇之间只有28千米．因此,到B镇为止,乙追不上甲．
35．(1)设新合金中,含第一种合金x克(g),第二种合金y克,第三种合金z克,则依题意有
(2)当x=0时,大500克．
(3)新合金中,含锰重量为：
x•40％＋y•10％+z•50％=400-0.3x,
y=250,此时,y为最小；当z=0时,y=500为最大,即250≤y≤500,所以在新合金中第二种合金重量y的范围是：最小250克,最
而0≤x≤500,所以新合金中锰的重量范围是：最小250克,最大400克．