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设f(x)是定义在R上的奇函数,在(-∞,0)上有xf′(x)+f(x)<0且f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 17:19:53
设f(x)是定义在R上的奇函数,在(-∞,0)上有xf′(x)+f(x)<0且f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为(  )
A. {x|-2<x<0或x>2}
B. {x|x<-2或0<x<2}
C. {x|x<-2或x>2}
D. {x|-2<x<0或0<x<2}
设f(x)是定义在R上的奇函数,在(-∞,0)上有xf′(x)+f(x)<0且f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解
设g(x)=xf(x),则g'(x)=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=xf′(x)+f(x)<0,
∴函数g(x)在区间(-∞,0)上是减函数,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数,
∴函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
∵f(-2)=0,
∴f(2)=0;
即g(2)=0且g(0)=0f(0)=0,
∴xf(x)<0化为g(x)<0,
∵对于偶函数g(x),有g(-x)=g(x)=g(|x|),
故不等式为g(|x|)<g(2),
∵函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
∴|x|<2且x≠0,解得-2<x<2且x≠0,
故所求的解集为{x|-2<x<2且x≠0}.
故选D.