已知在平面直角坐标系中,直线AB经过x轴上点A(-2,0),y轴上点B(0,4),直线y=kx(k

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 19:10:52

已知在平面直角坐标系中,直线AB经过x轴上点A(-2,0),y轴上点B(0,4),直线y=kx(k<0)
已知在平面直角坐标系中,直线AB经过x轴上点A(-2,0),y轴上点B(0,4),直线y=kx(k＜0)与直线AB交于点D,（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标（用含k的字母表示）；（3）x轴上另有一点E（1,0）,以AE为直径的⊙C恰好经过点D,求k值；（4）在（3）,试问⊙C上是否存在一点G,使得该点到直线AB的距离等于（4√5）/5,若存在,请求出点G的坐标,若不存在,请说明理由.

解（1）,
由直线AB过点A(-2,0),B(0,4),
得直线AB的截距式：-x/2+y/4=1,
结论：直线AB的解析式为：2x-y+4=0.…….①
解（2）,
直线y=kx(k＜0)与直线AB交于点D,设D点坐标（x0,y0）代入两条直线
得：y0=2x0+4
y0=kx0
∵ k＜0,∴ k-2＜-2
解方程组得：x0=4/(k-2)
y0=4k/(k-2)
结论：D的坐标为：D〔4/(k-2),4k/(k-2)〕.
解（3）,
以AE为直径的⊙C恰好经过点D,R=1/2•︱AE︱=1/2•︱1-(-2)︱=3/2
设⊙C的方程：(x+1/2)²+y²=(3/2)²
代入D点坐标：〔4/(k-2)+1/2〕²+〔4k/(k-2)〕²=(3/2)²
解方程得：k=-7/6,或 k=0 (不合题意,舍去）
结论：k= -7/6
解（4）,
设直线L∥AB,则L的方程：2x-y+C=0
令L和AB的距离为（4√5）/5,
根据平行线距离公式：d=︱C2-C1︱/|√(A²+B²)得：
(4√5)/5=︱C-4︱/|√(2²+1²)
解得：C=0,或C=8
代入得L：2x-y=0 ……②
2x-y+8=0 ……③
由已知条件,G点在⊙C上.
由图可知,显然③与⊙C不相交.只有②与⊙C相交,且有两个交点.所以,G点存在.
设G点坐标为G(m,n),
得到方程组：2m-n=0
(m+1/2)²+n²=(3/2)²
解得：m=(-1±√41)/10
n=(-1±√41)/5
结论：G点有2个,其坐标为：G1：〔(-1+√41)/10,(-1+√41)/5〕
G2：〔(-1-√41)/10,(-1-√41)/5〕