幂级数求和：0到正无穷x^n/(n+1)怎么作,

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 15:07:11

幂级数求和：0到正无穷x^n/(n+1)怎么作,
其中S（0）＝1不懂怎么出来的,当n＝0,x=0时和的第一项变为0^0/(0+1)=0吧,无意义,还是对求和的展开式误解,文科生请多多帮忙,虚心接受

令a_n = x^n/(n+1).严格来讲,这个题解法如下
(1)确定级数收敛域
用比值判别法
|a_{n+1}/a_n| = |x|(n+1)/n+2 -> |x| (n ->∞).因此当|x| 1时,级数发散.当x = -1时,级数为交错调和级数,收敛.当x = 1时,级数为调和级数,发散.故收敛域为-1 ≤ x < 1.
(2)根据定义,任意实数的0次幂等于1,0也不例外,即0^0 = 1.对于n > 0,有0^n = 0.显然S(0)＝1.
令Sn(x)为前n项和,当x在[-1,1)内且x≠0时,有
Sn(x) = 1/x Σ{k=0,n} x^(k+1)/(k+1)
记fn(x) = Σ{k=1,n} x^(k+1)/(k+1),则Sn(x) = (fn(x)+x)/x.
dfn(x)/dx = Σ{k=1,n} d[x^(k+1)/(k+1)]/dx
= Σ{k=1,n} x^(k-1)
= (1-x^n)/(1-x).
可见fn'(x) = (1-x^n)/[x(1-x)],根据牛顿-莱布尼兹公式,有
fn(x) - fn(0) = ∫{0,x} (1-t^n)/(1-t) dt
= ∫{0,x}1/(1-t) dt - ∫{0,x}t^n/(1-t) dt
= ln(1-x) - ∫{0,x} t^n/(1-t) dt
从而
Sn(x) = (ln(1-x) - ∫{0,x} t^n/(1-t) dt + fn(0) + x)/x= ln(1-x)/x + 1 + fn(0)/x - (1/x) ∫{0,x}t^n/(1-t) dt.易知对任意n>0,fn(0) = 0,故Sn(x) = ln(1-x)/x + 1 - (1/x) ∫{0,x} t^n/(1-t) dt.从而
S(x) = lim{n->∞} Sn(x)
=lim{n->∞} [ ln(1-x)/x + 1 - (1/x) ∫{0,x} t^n/(1-t) dt]
= ln(1-x)/x + 1 - lim{n->∞}∫{0,x} t^n/(1-t) dt.
注意到当-1∞).同时当x = -1时,也可证明∫{0,x} t^n/(1-t) dt -> 0 (n->∞)(较复杂).
故x在[-1,1)内且x≠0时,S(x) = ln(1-x)/x + 1,而S(0)＝1.

幂级数求和：0到正无穷x^n/(n+1)怎么作, 幂级数求和,:∑(n从1到正无穷) n*(n+2)*x^n 幂级数求和公式∑ ((-1)^n )*(x^(2n+1))/(2n+1)!n为0到无穷首先非常感谢您对“幂级数求和：0到正无穷x^n/(n+1)”细致讲解,但您提到0^0=1还是有疑问. 求幂级数（求和符号n从1到无穷）[(n^2+1)/n]*x^n的和函数求幂级数的和函数 S(x)= (x-1)^n/[n2^n] (n从1到无穷,求和) 求幂级数,求和符号,零到无穷,n加1分之,x的N次方…的和函数求幂级数n=1到正无穷（n+1）乘以x的n次方的和函数求幂级数∑{n=1到正无穷} [(x-1)^n]/n的收敛区间与和函数求幂级数:求和n=0到无穷大 (-1)^n * n/(n+1)*x^(n+1)的和函数? 常数项级数求和比如n从一到无穷,n除以2的n次方,化成幂级数nx^n 然后X带1/2,求和,幂级数还要讨论收敛幂级数和函数问题求幂级数:求和n=0到无穷大 (-1)^n * n/(n+1)*x^(n+1)的和函数?逐项求导，之后呢