求函数y=sinx/(2-cosx)的值域,请用分离函数法解答出详细过程

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/24 10:12:42

y=sinx/(cosx-2)
= 2sin(x/2)cos(x/2) / [cos²(x/2) - sin²(x/2) - 2sin²(x/2) -2cos²(x/2)]
用倍角公式,sinx=2sin(x/2)cos(x/2) ；cosx=cos²(x/2) -sin²(x/2)；
另外 2=2sin²(x/2)+2cos²(x/2)
化简整理：y=2sin(x/2)cos(x/2) / [-3sin²(x/2)-cos²(x/2)]
两边同除以 cos²(x/2)得
y=2tan(x/2) /[-3tan²(x/2)-1]
令 tan(x/2)=k,k∈R；则有
y=2k /(-3k²-1)
= -2k/(3k²+1)
= -2/(3k+1/k)
根据均值不等式 3k+1/k≥2√3,或者 3k+1/k ≤ -2√3；
当且仅当 3k=1/k时等号成立；
则 y= -2/(3k+1/k) 的取值范围是 [-√3/3,0) ∪(0,√3
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