把一个矩形截去一个正方形后,所剩的矩形和原矩形是否相似?若相似说明理由；若不相似,问原矩形的长边与短边之比为多少事则一定

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 06:27:14

把一个矩形截去一个正方形后,所剩的矩形和原矩形是否相似?若相似说明理由；若不相似,问原矩形的长边与短边之比为多少事则一定相似?
已知a,b,c是△ABC的三边,且(c-a):(a+b):(c-b)=2：7：1,试判断△ABC的形状

解(1）所剩的矩形和原矩形不一定相似
当原矩形和所剩的矩形相似时
设原矩形长为x,宽为y.则所剩矩形长为y,宽为(x-y)
x：y=y：(x-y)
x²-xy-y²=0
x=(1+√5)y/2 或(1-√5)y/2(舍)
x：y=(1+√5)y/2：y=(1+√5)：2
所以当原矩形的长边与短边之比为：(1+√5)：2时所剩的矩形和原矩形相似
(2)∵(c-a)：(a+b)：(c-b)=2：7：1
设c-a=2k (1) 则：
a+b=7k (2)
c-b=k (3)
(1)+(2)+(3)得
2c=10k c=5k
∴a=3k b=4k
∵a²+b²=(3k)²+(4k)²=25k²
c²=(5k)²=25k²
∴a²+b²=c²
∴△ABC为直角三角形