（2011•蓝山县模拟）已知函数f(x)＝13ax3+12bx2+cx（a＞0）．

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/07 11:09:25

（2011•蓝山县模拟）已知函数f(x)＝

（1）因为函数f(x)＝
1
3ax3+
1
2bx2+cx=x（
1
3ax2+
1
2bx+c）（a＞0），又x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9，则x₃=0，x₁+x₂=-3，x₁x₂=-9（1分）
因为x₁，x₂是方程
1
3ax2+
1
2bx+c=0的两根，
则−
3b
2a＝−3，
3c
a＝−9，得
b
a＝2，
c
a＝−3，（3分）
所以f′(x)＝ax2+bx+c＝a(x2+
b
ax+
c
a)=a（x²+2x-3）=a（x-1）（x+3）．
令 f′（x）=0 解得：x=1，x=-3
故f（x）的单调递减区间是（-3，1），单调递增区间是（-∞，-3），（1，+∞）．（5分）
（2）因为 f′（x）=ax²+bx+c，f′(1)＝−
1
2a，，所以a+b+c=−
1
2a，即3a+2b+2c=0．
又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）
于是f′(1)＝−
1
2a＜0，f′（0）=c，f′（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．（8分）
①当c＞0时，因为f′（0）=c＞0，f′(1)＝−
1
2a＜0，而f′（x）在区间（0，1）内连续，则f′（x）在区间（0，1）内至少有一个零点，设为x=m，则在x∈（0，m），f′（x）＞0，
f（x）单调递增，在x∈（m，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在区间（0，1）内有极大值点x=m；（9分）
②当c≤0时，因为f′(1)＝−
1
2a＜0，f′（2）=a-c＞0，则f′（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
同理，函数f（x）在区间（1，2）内有极小值点．
综上得函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点．（10分）
（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数 f′（x）=ax²+bx+c=0的两个零点，由（2）得
3a+2b+2c=0，则m+n=-
b
a，mn=
c
a=−
3
2−
b
a．所以|m-n|=

（2011•蓝山县模拟）已知函数f(x)＝13ax3+12bx2+cx（a＞0）．已知函数F(x)＝13ax3+bx2+cx(a≠0)，F'（-1）=0．（2012•蓝山县模拟）设函数f(x)=13ax3+bx+cx(a≠0)，已知a＜b＜c，且0≤ba＜1，曲线y=f（x （2012•蓝山县模拟）已知函数f(x)＝lnx−12ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则（　　）已知a，b，c，d是不全为0的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d，方程f（x）=0 设函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是增函数.(详题见补充）已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数．（2013•眉山二模）已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象经过原点，f′（1）=0若f（x）在x=-1取得极大值2．如果函数f（x）=13ax3+12bx2+cx，且f′(1)＝−a2，3a＞2c＞2b，则下列结论不正确的是（　　）（2011•江苏模拟）已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3；则2a+b=______．