在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥A

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 15:47:13

在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,.

如图,求用向量法解答.

证明：（Ⅰ）∵EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,
∴∠EGF=90°,△ABC～△EFG,
由于AB=2EF,
∴BC=2FG,
连接AF,
∵FG∥BC,FG=1/2BC,
在▱ABCD中,M是线段AD的中点,
∴AM∥BC,且AM=1/2BC,
∴FG∥AM且FG=AM,
∴四边形AFGM为平行四边形,
∴GM∥FA,
∵FA⊂平面ABFE,GM⊄平面ABFE,
∴GM∥平面ABFE．
（Ⅱ）由题意知,平面ABFE⊥平面ABCD,
取AB的中点H,连接CH,
∵AC=BC,
∴CH⊥AB
则CH⊥平面ABFE,
过H向BF引垂线交BF于R,连接CR,
由线面垂直的性质可得CR⊥BF,
∴∠HRC为二面角的平面角,
由题意,不妨设AC=BC=2AE=2,
在直角梯形ABFE中,连接FH,
则FH⊥AB,
又AB=2倍根号2 ,
∴HF=AE=1,HR=
S△BHE /( BE /2) =根号2/根号3=根号6/3,
由于CH=1/2AB=根号2 ,
∴在直角三角形CHR中,tan∠HRC=根号2/ 根号6/3 =根号3
因此二面角A-BF-C的大小为60°