灵鹊做题网自然数的平方和等于什么?
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 08:45:42
自然数的平方和等于什么?
1^2+2^2+3^2+…+n^2=?（写出具体过程.注：1^2表示1的平方）
1^2+2^2+3^2+…+n^2=?（写出具体过程.注：1^2表示1的平方）
求证的方法有很多,我以前是通过组合数的规律来思考的
我们可以通过组合数的一共公式来考虑：（n,k）+(n,k+1)=(n+1,k+1),这里用到的是k=2的情况,即（n,2）+(n,3)=(n+1,3)算一下就知道这公式是否正确了.
下面可以计算了.n^2=2(n+1,2)-n,所以1^2+2^2+3^2+…+n^2求和可以分为两部分,
简单的"n"求和就是1+2+……+n=(n+1)n/2
"2(n+1,2)"求和的话,我们先思考“（n+1,2）”的求和,即为（2,2）+（3,2）+（4,2）+……+（n+1,2）,这时利用公式（n,2）+(n,3)=(n+1,3),令n=3,有（3,2）+(3,3)=(4,3),因为（2,2）=(3,3),所以,（2,2）+（3,2）=（3,3）+（3,2）=（4,3）,继续加,（4,3）+（4,2）=（5,3）,（5,3）+（5,2）=（6,3）……可以一直加下去,最后得到（n+2,3）,所以“（n+1,2）”的求和答案就是（n+2,3）=(n+2)(n+1)n/6,乘以前面的2,就是(n+2)(n+1)n/3,再减去(n+1)n/2,就等于（2n+1）（n+1）n/6
我们可以通过组合数的一共公式来考虑：（n,k）+(n,k+1)=(n+1,k+1),这里用到的是k=2的情况,即（n,2）+(n,3)=(n+1,3)算一下就知道这公式是否正确了.
下面可以计算了.n^2=2(n+1,2)-n,所以1^2+2^2+3^2+…+n^2求和可以分为两部分,
简单的"n"求和就是1+2+……+n=(n+1)n/2
"2(n+1,2)"求和的话,我们先思考“（n+1,2）”的求和,即为（2,2）+（3,2）+（4,2）+……+（n+1,2）,这时利用公式（n,2）+(n,3)=(n+1,3),令n=3,有（3,2）+(3,3)=(4,3),因为（2,2）=(3,3),所以,（2,2）+（3,2）=（3,3）+（3,2）=（4,3）,继续加,（4,3）+（4,2）=（5,3）,（5,3）+（5,2）=（6,3）……可以一直加下去,最后得到（n+2,3）,所以“（n+1,2）”的求和答案就是（n+2,3）=(n+2)(n+1)n/6,乘以前面的2,就是(n+2)(n+1)n/3,再减去(n+1)n/2,就等于（2n+1）（n+1）n/6