求等比数列的和

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 10:54:38

求下列等比数列的和（1）{n X2^n-1}的前n项和（2）1+（1+2）+（1+2+2²）+（1+2+2²+2³）+...............+(1+2²+2³+........+2^n-1)的前n项和（3）（x+1/y) +(x²+1/y²) +..........+(xⁿ+1/yⁿ) (a不等于1，b不等于1)

解题思路：利用数列求和的常用的几种方法：错位相消，分组求和通项公式法
解题过程：
解：（1）由题意得：
s_n=1*2⁰+2*2¹+3*2²+4*2³+…(n-1)*2^n-2+n*2^n-1(1)
则2s_n=1*2¹+2*2²+3*2³+4*2⁴+…(n-1)*2^n-1+n*2ⁿ(2)
(1)-(2)得：-s_n=1*2⁰+2*2¹+3*2²+4*2³+…(n-1)*2^n-2+n*2^n-1（1*2¹+2*2²+3*2³+4*2⁴+…(n-1)*2^n-1+n*2ⁿ ）=2⁰+2¹+2²+2³+…2^n-1-n*2ⁿ
=2ⁿ-1-n*2ⁿ
所以s_n=（n-1)2ⁿ +1注：错位相消适合一个等比数列和一个等差数列相乘，方法是只需乘以等比数列的公比，然后错位相消即可凑出等比数列的求和这是对这类问题的通法
（2）利用通项公式：适合不在我们通法时可以考虑求出通项公式
由题意的所给数列的通项也即第n项为：an=(1+2²+2³+........+2^n-1)=2ⁿ-1
所以所求和为：s_n=a₁+a₂+a₃+…a_n=2¹-1+2²-1+2³-1+…+2ⁿ-1=2¹+2²+2³…+2ⁿ-n
=2*(1-2ⁿ)/(1-2)-n=2ⁿ⁺¹-2-n
(3)s_n=（x+1/y) +(x²+1/y²) +..........+(xⁿ+1/yⁿ) =(x+x²+…xⁿ)+(1/y+1/y²+…1/yⁿ）
且x,y均不为1，所以利用等比数列的求和公式可得
s_n=x*(1-xⁿ)/(1-x)+1/y*(1-1/yⁿ)/(1-1/y)=(xⁿ⁺¹-x)/(x-1)+(1-1/y^n-1)/(y-1)
注：这个适合分组法，虽然整体不是等比数列但是分开之后是两个等比数列

最终答案：略

求等比数列的和等差数列除以等比数列的和怎么求? 等差数列和等比数列的通式和求和、求积公式求公式：一个等比数列连续N项的和Sn成等比数列它的公比是什么求高中的等差数列和等比数列的全部公式等比数列求前N项和的公式求下面两题无穷递缩等比数列的和求一道“等比数列的前n项和”计算题一道高二等比数列题.已知Sn是等比数列{an}的前n次和,S2,S6,S4成等比数列,求数列{an}的公比q. 三个数成等比数列,他们的和等于14,他们的积等于64,求这个等比数列等比数列和等差数列的题目等比数列和等差数列的公式