已知直线y=x+b与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,若OA垂直于OB,(O为坐标原点)且S△AOB=2√5

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 10:18:38

已知直线y=x+b与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,若OA垂直于OB,(O为坐标原点)且S△AOB=2√5,求抛物线方程

把直线方程 y=x+b 代入抛物线方程,得
（x+b)²=2px
x²-2(p-b)x+b²=0
直线与抛物线的两个交点A,B的横坐标是这个关于x的一元二次方程的两个根x1,x2
则 x1+x2=2(p-b) x1x2=b²
于是 y1+y2=(x1+x2)+2b=2p-2b+2b=2p
y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b²=2b²+2pb-2b²=2pb
∵OA⊥OB
∴(y1/x1)(y2/x2)=y1y2/x1x2=2pb/b²=2p/b=-1
p=-b/2
x1+x2=2p-2b=-3b
y1y+2=-b y1y2=-b²
∵三角形OAB面积为 2√5
而 |AB|=√(x1-x2)²+(y1-y2)²=√(x1+x2)²-4x1x2+(y1-y2)²-4y1y2
=√(-3b)²-4b²+(-b)²-4(-b²)=√10b
原点O到AB的距离是　d＝|b|/√2
∴√5b²/2=2√5
b²=4 b=±2
∴p=-b/2=±1
因此,所求的抛物线是y²=2x 或 y²=-2x
再问： x1+x2=2(p-b) x1x2=b² 中x1+x2为什么等于b的平方
再答：这是一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x1,x2,则 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
再问：是不是x1x2前面少个逗号，那不是乘一乘二
再答：对，我少了个逗号，对不起

已知直线y=x+b与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,若OA垂直于OB,(O为坐标原点)且S△AOB=2√5 已知抛物线y^2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点,O为坐标原点,求证OA垂直OB 已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若OA=OB,且△AOB的垂心恰是次抛物线的焦点,则直线A 直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）已知圆X2+Y2+X-6Y+M=0和直线X+2Y-3=O相交于A,B两点,且OA垂直于OB（O为坐标原点）求M的值已知直线y=kx+1交抛物线y=x平方于A、B两点,求证：(1)求证OA垂直OB（O为坐标原点）(2)若S三角形AOB= 已知直线y=x+b与抛物线x^2=2y交于A,B两点,且OA垂直于OB（O为坐标原点）,求b的取值范围请写清楚过程谢谢已知直线y=x+b与抛物线x^2=2y交于A,B两点,且OA垂直于OB（O为坐标原点）,求b的取值范围已知直线y=x+b与抛物线x²=2y相交于A,B两点,且OA⊥OB（O为坐标原点）,求实数b的值. 已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧AOB 直线与抛物线y方=2px(p＞0)交于A,B两点,O为坐标原点,若OA⊥OB,OD⊥AB,垂足是D（2,-1）,求抛物线已知抛物线y²=-x和直线y=k(x+1)相交于A,B两点,O为原点.求证OA垂直于OB