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设A,B都是实对称矩阵,证明：存在正交矩阵P,使得（P^-1）AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同.

来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 03:40:34
设A,B都是实对称矩阵,证明：存在正交矩阵P,使得（P^-1）AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同.
设A,B都是实对称矩阵,证明：存在正交矩阵P,使得（P^-1）AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同.
必要性:
因为（P^-1）AP=B,所以 A与B 相似,
而相似矩阵有相同的特征值,
所以A,B的特征值全部相同.
充分性:
由A,B都是实对称矩阵且A,B的特征值全部相同,设为 a1,a2,...,an
则存在正交矩阵C,D满足:
C^-1AC = diag(a1,a2,...,an),
D^-1BD = diag(a1,a2,...,an),
所以有 C^-1AC = D^-1BD
所以 B = D(C^-1AC)D^-1 = (DC^-1)A(CD^-1)
= (CD^-1)^-1A(CD^-1).
令 P = CD^-1
则 P^-1AP = B.
因为正交矩阵的逆,乘积仍是正交矩阵,
所以P是正交矩阵.
命题得证.
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