设函数f（x）=x2+bln（x+1），

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/30 05:28:05

设函数f（x）=x²+bln（x+1），
（1）若对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围．

（1）由x+1＞0得x＞-1
∴f（x）的定义域为（-1，+∞），
对x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），
∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0，
f/(x)＝2x+
b
x+1，∴2+
b
2＝0，
解得b=-4．
（2）∵f/(x)＝2x+
b
x+1＝
2x2+2x+b
x+1，
又函数f（x）在定义域上是单调函数，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立．
若f′（x）≥0，
∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≥-2x²-2x=−2(x+
1
2)2+
1
2恒成立，由此得b≥
1
2；
若f′（x）≤0，
∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≤0，即b≤-（2x²+2x）恒成立，
因-（2x²+2x）在（-1，+∞）上没有最小值，
∴不存在实数b使f（x）≤0恒成立．
综上所述，实数b的取值范围是[
1
2，+∞)．
故答案为：（1）b=-4；（2）实数b的取值范围是[
1
2，+∞)．

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