灵鹊做题网数列的裂项求和是怎么一回事?最好请大家举几个例子说明一下!
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 12:48:24
数列的裂项求和是怎么一回事?最好请大家举几个例子说明一下!
裂项求和,顾名思义就是,要把每一项拆开来咯～
先举个最简单的例子：
求和：1/2+1/6+1/12+1/20
不用计算器的～我们可以把原式变形
原式＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)1/(4*5)
我们看1/(1*2)是不是就等于1-1/2,1/(2*3)是不是就等于1/2-1/3,自己可以去试一下,同理我们就可以得到
原式＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)
把括号去掉,就可以削去中间项得到
原式＝1-1/5=4/5
这道题是解完了,可你一定会问,为什么可以这样做
我们把上面求和中用到的最重要的式子抽象出来就是这个式子：
1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
这个式子其实很好证,通分下就可以了～
所以,以后看到了每一项可以化成1/[n(n+1)]的形式的求和问题,就要多想想看看可不可以用裂项求和.
当然,上面的这个式子其实还是特殊情况,我们考虑,为什么分母上的两个式子之差只能是1,如果化成k会怎样～
其实也很简单,我们看显然1/[n(n+k)]是不等于1/n-1/(n+k),但有了前面的经验,我们知道肯定是要化成类似的形式,我们可以试着把1/n-1/(n+k)通分一下,我们发现得到k/[n(n+k)],哈,那不就是1/[n(n+k)]的k倍么,所以我们就得到如下等式：
1/[n(n+k)]＝(1/k)*[1/n-1/(n+k)]
有了这个通式,就可以解很多关于裂项求和的问题了～
最后再留一道题给你练习下吧～
求和：1/4+1/28+1/70+1/130+1/208
(答案：15/16)
先举个最简单的例子：
求和：1/2+1/6+1/12+1/20
不用计算器的～我们可以把原式变形
原式＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)1/(4*5)
我们看1/(1*2)是不是就等于1-1/2,1/(2*3)是不是就等于1/2-1/3,自己可以去试一下,同理我们就可以得到
原式＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)
把括号去掉,就可以削去中间项得到
原式＝1-1/5=4/5
这道题是解完了,可你一定会问,为什么可以这样做
我们把上面求和中用到的最重要的式子抽象出来就是这个式子：
1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
这个式子其实很好证,通分下就可以了～
所以,以后看到了每一项可以化成1/[n(n+1)]的形式的求和问题,就要多想想看看可不可以用裂项求和.
当然,上面的这个式子其实还是特殊情况,我们考虑,为什么分母上的两个式子之差只能是1,如果化成k会怎样～
其实也很简单,我们看显然1/[n(n+k)]是不等于1/n-1/(n+k),但有了前面的经验,我们知道肯定是要化成类似的形式,我们可以试着把1/n-1/(n+k)通分一下,我们发现得到k/[n(n+k)],哈,那不就是1/[n(n+k)]的k倍么,所以我们就得到如下等式：
1/[n(n+k)]＝(1/k)*[1/n-1/(n+k)]
有了这个通式,就可以解很多关于裂项求和的问题了～
最后再留一道题给你练习下吧～
求和：1/4+1/28+1/70+1/130+1/208
(答案：15/16)
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