已知点P在△ABC所在的平面内,现分别给出关于点P所满足的条件:①向量AP=λ(向量AB+向量AC),向量BP=υ(向量

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/02 22:17:33

已知点P在△ABC所在的平面内,现分别给出关于点P所满足的条件:①向量AP=λ(向量AB+向量AC),向量BP=υ(向量BA+向量BC)；②动点Q到达P位置时向量AQ^2+向量BQ^2+向量CQ^2取得最小值；③向量PA*向量PB=向量PB*向量PC=向量PC*向量PA.上述三个点P中,是△ABC的重心有______

1）设BC中点为D,AC中点为E,则AB+AC=2AD,BA+BC=2BE,
因此 AP=λ/2*AD ,BP=μ/2*BE ,
这说明,P 是AD与BE的交点,因此是三角形ABC的重心；
2）设三角形重心为G,对平面内任一点Q,有
(AQ^2+BQ^2+CQ^2)-(AG^2+BG^2+CG^2)
=(AQ+AG)*(AQ-AG)+(BQ+BG)*(BQ-BG)+(CQ+CG)*(CQ-CG)
=GQ*(AQ+AG+BQ+BG+CQ+CG)
=GQ*(AQ+BQ+BQ) （因为重心G满足 AG+BG+CG=0）
=GQ*(AG+GQ+BG+GQ+CG+GQ)
=GQ*3GQ
>=0 ,当 Q 与 G 重合时,取等号,
所以,由 AQ^2+BQ^2+CQ^2 的最小值在 Q 与 P重合时取可知,P为三角形ABC的重心 .
3）由 PA*PB=PB*PC 得 PA*PB-PB*PC=0 ,
因此 PB*(PA-PC)=PB*AC=0 ,因此 PB丄AC,
同理 PA丄BC,PC丄AB ,因此 P 为三角形的垂心.
由以上可知,是重心的有 1）和 2）.

已知点P在△ABC所在的平面内,现分别给出关于点P所满足的条件:①向量AP=λ(向量AB+向量AC),向量BP=υ(向量已知三角形ABC所在的平面上的动点P满足向量AP=|向量AB|向量AC+|向量AC|向量AB,则若O为△ABC所在平面内的一点,动点P满足向量OP=向量OA+入(向量AB+向量AC）,…… 已知P为三角形ABC所在平面内一点,且向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.延长AP交BC于点D, 已知P是三角形ABC所在平面内一点,且向量PA+向量PB+向量PC=向量AB,则点P为什么在AC边上? 已知D点为三角形的边BC的中点,在三角形ABC所在的平面内有一点P,满足向量PA+向量BP+向量CP=0,向量PA的? 若D为△ABC的边BC的中点,△ABC所在平面内有一点P,满足向量PA+向量BP+向量CP=向量0,设|向量AP|/|向已知A,B,C为三个不共线的点,P为三角形ABC所在平面内一点,若向量PA+向量PB+向量PC=向量AB, 已知P是三角形ABC所在平面内的一点,若向量CB=x向量PA+向量PB,则点P一定在AC边所在的直线上给出证明已知P为△ABC所在平面内一点,且满足向量AP=1/5向量AC+2/5向量AB,且△APB的面积与△PAC的面积之比为. 已知O是平面内的一个定点,A,B,C是平面内不共线的三个点,动点P满足向量在向量OP=向量OA+λ(向量AB/向量AB的已知三角形ABC的三个顶点A,B,C及其所在平面内一点P,满足向量PA+向量PB+向量PC=向量AB,则点P与三角形AB