证明函数f（x）=x+根号下1-x在(-∞,3/4]上为增函数

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/29 22:30:49

解由f（x）=x+√（1-x）
设x1,x2属于(-∞,3/4],且x1＜x2≤3/4
则f（x1）-f（x2）
=x1+√（1-x1）-[x2+√（1-x2）]
=(x1-x2)+√（1-x1）-√（1-x2）
=(x1-x2)+[√（1-x1）-√（1-x2）]×1
=(x1-x2)+[√（1-x1）-√（1-x2）]×[√（1-x1）+√（1-x2）]/[√（1-x1）+√（1-x2）]
=(x1-x2)+[（1-x1）-（1-x2）]/[√（1-x1）+√（1-x2）]
=(x1-x2)+（x2-x1）/[√（1-x1）+√（1-x2）]
=（x1-x2）{1-1/[√（1-x1）+√（1-x2）]}
=（x1-x2）{[√（1-x1）+√（1-x2）-1]/[√（1-x1）+√（1-x2）]}
由x1＜x2≤3/4,则x1-x2＜0
且-x1＞3/4,-x2≥-3/4
即1-x1＞1/4,1-x2≥1/4
即√（1-x1）＞1/2,√（1-x2）≥1/2
即√（1-x1）+√（1-x2）＞1
即√（1-x1）+√（1-x2）-1＞0
则（x1-x2）{[√（1-x1）+√（1-x2）-1]/[√（1-x1）+√（1-x2）]}＜0
即f（x1）＜f（x2）
即函数f（x）=x+根号下1-x在(-∞,3/4]上为增函数

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