灵鹊做题网9月27日月考复习卷子20题请教：
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 03:15:02
9月27日月考复习卷子20题请教：
请老师一定帮忙解答，非常感谢！
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解题思路： 利用导数求切线斜率；分离变量，利用导数判断单调性，确定最值；结合图象特征判断交点个数.
解题过程：
解：(1) 由 
， 得 
， 从而，
，
， ∴ 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的方程为 
， 整理得 
， 与 y＝3x对照， 有 
， 得 
， ∴ 
； (2) f(x)的图象恒在g(x)图象的上方， 即不等式f(x)＞g(x)恒成立， 即 
亦即 
在x＞0上恒成立， 令
， 则
， 显然，在(0, +∞)上，
是减函数，且 
， ∴ 在区间(0, 1), (1, +∞)上，分别有
， ∴ 在(0, 1), (1, +∞)上依次为增函数，减函数， 从而，最大值为
， 故 不等式在x＞0上恒成立的条件是 
， 即 m的取值范围是 
； (3) 考察方程f(x)＝g(x) 即 
的实根的个数， 由(2)已知，在(0, 1), (1, +∞)上依次为增函数，减函数， 
且 最大值为， 又 当x→0时，h(x)→－∞；当x→+∞时，h(x)→0， 直线y＝m与曲线y＝h(x)的交点个数就是方程f(x)＝g(x)的实根个数， ① 若
或m≤0， 则方程有唯一解； ② 若
， 则方程有两个解； ③ 若
， 则方程无解．
解题过程：
解：(1) 由 ， 得 ， 从而，，， ∴ 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的方程为 ， 整理得 ， 与 y＝3x对照， 有 ， 得 ， ∴ ； (2) f(x)的图象恒在g(x)图象的上方， 即不等式f(x)＞g(x)恒成立， 即 亦即 在x＞0上恒成立， 令， 则， 显然，在(0, +∞)上，是减函数，且 ， ∴ 在区间(0, 1), (1, +∞)上，分别有， ∴ 在(0, 1), (1, +∞)上依次为增函数，减函数， 从而，最大值为， 故 不等式在x＞0上恒成立的条件是 ， 即 m的取值范围是 ； (3) 考察方程f(x)＝g(x) 即 的实根的个数， 由(2)已知，在(0, 1), (1, +∞)上依次为增函数，减函数， 且 最大值为， 又 当x→0时，h(x)→－∞；当x→+∞时，h(x)→0， 直线y＝m与曲线y＝h(x)的交点个数就是方程f(x)＝g(x)的实根个数， ① 若或m≤0， 则方程有唯一解； ② 若， 则方程有两个解； ③ 若， 则方程无解．