设A是数域F上一个n阶方阵,且A^2=A(A为幂等矩阵)

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 08:05:22

设A是数域F上一个n阶方阵,且A^2=A(A为幂等矩阵)
证明(1)I+A可逆,并求I+A的逆 (2)秩(A)+秩(I+A)=n (3)A一定可对角化

证明:(1) 因为 A^2=A
所以 (A+I)A-2(A+I)=-2I
所以 (A+I)(A-2I)=-2I
所以 A+I 可逆,且 (A+I)^-1 = (-1/2)(A-2I).
(2) 是要证 r(A)+r(I-A)=n 吧!(否则不成立)
因为 A^2=A
所以 A(A-I)=0
所以 r(A)+r(A-I)
再问： (2) 是要证 r(A)+r(I-A)=n 吧! (否则不成立) 第二问是r(A)+r(I+A)=n
再答：由(1), A+I 可逆, 故 r(A+I)=n 若你结论成立, 必有 r(A)=0, 即有 A =0 !!! 这不对. 如 A= 1 0 0 0 有 A^2=A. 但 r(A)+r(A+I) = 1+2=3 > 2.
再问：如图
再答：呵呵, 题目错了. 估计打字时疏忽了. (3) 需要(2)的结论, 跟你老师说一下吧

设A是数域F上一个n阶方阵,且A^2=A(A为幂等矩阵) 设A为n阶方阵,且|A|=2,A*为A的伴随矩阵,则|A*|=? 设矩阵A为三阶方阵,且|A|=1/2,则|-2A|=? 设A为三阶方阵,且|A|=2,A*为A的伴随矩阵,|3A*|=? 设A为n阶方阵,且A=A^2;,则(A-2E)^-1 设A,B为n阶方阵,且2A-B-AB=E,A^2=A,证明:A-B可逆,并求其逆矩阵设A*为n阶方阵A的伴随矩阵,则AA*=A*A= 设A为n阶方阵,且|A|不等于0,证明A^T A为正定矩阵设A,B都是N阶方阵,I为N阶单位矩阵,且B=B^2,A=I+B,证明A可逆 A为n阶方阵,I为n阶单位矩阵,若A^2=A且A不等于I.证明A必为奇异矩阵设n阶方阵A可逆,A^*为A的伴随矩阵,证明|A^*|=|A|^n-1 设A为n阶非零方阵,且A≠E,A²=A（E为n阶单位矩阵）则