（2011•晋中三模）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/10 07:22:34

（2011•晋中三模）如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B₁C₁上的动点，且EF∥CC₁，CD=DD₁=1，AB=2，BC=3．
（Ⅰ）证明：无论点E怎样运动，四边形EFD₁D都为矩形；
（Ⅱ）当EC=1时，求几何体A-EFD₁D的体积．

（2011•晋中三模）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是

（Ⅰ）在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁∥CC₁，
∵EF∥CC₁，∴EF∥DD₁，（2分）
又∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
平面ABCD∩平面EFD₁D=ED，
平面A₁B₁C₁D₁∩平面EFD₁D=FD₁，
∴ED∥FD₁，∴四边形EFD₁D为平行四边形，（4分）
∵侧棱DD₁⊥底面ABCD，又DE⊂平面ABCD内，
∴DD₁⊥DE，∴四边形EFD₁D为矩形；（5分）
（Ⅱ）证明：连接AE，∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，
∴侧棱DD₁⊥底面ABCD，又AE⊂平面ABCD内，
∴DD₁⊥AE，（6分）
在Rt△ABE中，AB=2，BE=2，则AE＝2
2；（7分）
在Rt△CDE中，EC=1，CD=1，则DE＝
2；（8分）
在直角梯形中ABCD，AD＝
BC2+(AB−CD)2＝
10；
∴AE²+DE²=AD²，即AE⊥ED，
又∵ED∩DD₁=D，∴AE⊥平面EFD₁D；（10分）
由（Ⅰ）可知，四边形EFD₁D为矩形，且DE＝
2，DD₁=1，
∴矩形EFD₁D的面积为SEFD1D＝DE•DD1＝
2，
∴几何体A-EFD₁D的体积为VA−EFD1D＝
1
3SEFD1D•AE＝
1
3×
2×2
2＝
4
3．