灵鹊做题网函数y=根号下x+1 -跟号下x+1 的值域
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/30 12:36:10
函数y=根号下x+1 -跟号下x+1 的值域
要过程函数y=（根号下（x+1）） -（跟号下（x-1 ））的值域
要过程函数y=（根号下（x+1）） -（跟号下（x-1 ））的值域
很多人解这道题目都是用求反函数定义域的方法来讨论,即用 x=x(y) 的形式通过求解 x(y) 的定义域来得出原函数 y(x) 的值域,比如网友“丁勇归来”的解法.但是这种解法会出现值域放大,所以解出的结果往往不正确,需要进一步求证,“丁勇归来”的求解结果就出现了值域偏大的错误.本题不宜用求反函数定义域法,下面给出正确的解法：
【解】
已知 y=√(x+1)-√(x-1) ,显然函数的定义域为 [1,+∞）,再由 x+1＞x-1 可知,对于一切x∈[1,+∞）,y=√(x+1)-√(x-1) ＞0 .
分子有理化可得 y=√(x+1)-√(x-1) =2/[√(x+1)+√(x-1) ] ,如果令 f(x)=√(x+1)+√(x-1) ,显然 f(x) 是[1,+∞）上的单调递增函数,那么 y=2/f(x) 就是 [1,+∞）上的单调递减函数,当 x 取最小值时,y能到最大值,显然最小 x 为1,故最大 y 为√2 ；当 x 取最大值时,y能到最小值,因为这里 x 可以无穷大 ,则 f(x) 可以无穷大,所以 y =2/f(x) 可以无限接近 0 .
综合以上分析,函数的值域为 （0,√2 ] .
【解】
已知 y=√(x+1)-√(x-1) ,显然函数的定义域为 [1,+∞）,再由 x+1＞x-1 可知,对于一切x∈[1,+∞）,y=√(x+1)-√(x-1) ＞0 .
分子有理化可得 y=√(x+1)-√(x-1) =2/[√(x+1)+√(x-1) ] ,如果令 f(x)=√(x+1)+√(x-1) ,显然 f(x) 是[1,+∞）上的单调递增函数,那么 y=2/f(x) 就是 [1,+∞）上的单调递减函数,当 x 取最小值时,y能到最大值,显然最小 x 为1,故最大 y 为√2 ；当 x 取最大值时,y能到最小值,因为这里 x 可以无穷大 ,则 f(x) 可以无穷大,所以 y =2/f(x) 可以无限接近 0 .
综合以上分析,函数的值域为 （0,√2 ] .