已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底边长都相等,E是SB的中点,则AE,SD所成角的余弦值为?

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/13 09:32:45

已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底边长都相等,E是SB的中点,则AE,SD所成角的余弦值为?
A.1/3 B.根2/3 C.根3/3 D.2/3
如果用向量的方法做？（设侧棱和底边长都为2）

C.根3/3
因为正四棱锥S-ABCD的底是正方形,设边长为1
连接对角线BD,则面SBD垂直面ABCD,且BD=根2
三角形SBD中,已知 SD=SB=底边长=1,BD=根2
所以三角形SBD是等腰直角三角形,
过E做EF//SD,交BD于F,连接AF
因为 E是SB的中点,EF//SD,所以 F是BD的中点,
因此 EF=1/2*SD=1/2,AF垂直BD
所以 AF垂直面SBD,于是 AF垂直EF
即三角形AEF是直角三角形,角AFE=90度
AE=根3/2,EF=1/2
所以 cos角AEF=EF/AE=1/根3=根3/3
再问：如果用向量的方法呢？（设侧棱和底边长都为2）
再答：用向量啊，要建直角坐标系？（设侧棱和底边长都为a）以A为原点，AB,AD为x, y轴，过A垂直ABCD的直线为z轴建立直角坐标系。那么A,B,D,E,S的坐标为 A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), S(a/2, a/2, a√2/2), E(3a/4, a/4, a√2/4) 用 [ ] 表示向量于是 [AE]=(3a/4, a/4, a√2/4)，[SD]=(a/2, -a/2, a√2/2) 因此 [AE]*[SD]=(3a/4)*(a/2)+(a/4)*(-a/2)+(a√2/4)*(a√2/2) =a^2(3/8-1/8+2/8)=a^2/2 已知 |SD|=a, |AE|=a√3/2 所以 cos=[AE]*[SD]/(|SD|*|AE|) =(a^2/2)/(a*a√3/2) =1/√3=√3/3