灵鹊做题网怎样判断此函数是否为周期函数
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 23:42:05
怎样判断此函数是否为周期函数
f(x)=xcosx
f(x)=xcosx
证明:
假设此函数为一个周期函数
T(T≠0)为其周期之一
则必有f(x+T)=f(x)恒成立
令F(x)=f(x+T)-f(x)
F(x)=0对于任意x恒成立
由于
F(x)
=xcos(x+T)+Tcos(x+T)-xcosx
=Tcos(x+T)-2xsin(x+T/2)sin(T/2)
令x=0
得到F(0)=TcosT=0
由于T≠0,于是cosT=0
即T=2kπ+π/2(k为一整数)
于是
F(x)
=Tcos(x+T)-2xsin(x+T/2)sin(T/2)
=Tcos(x+2kπ+π/2)-2xsin(x+kπ+π/4)sin(kπ+π/4)
=-Tsinx-2x*(-1)^k*sin(x+π/4)*(-1)^k*sin(π/4)
=-Tsinx-√2xsin(x+π/4)
于是
F(π)=π≠0
产生矛盾,即f(x)=xcosx不是一个周期函数
假设此函数为一个周期函数
T(T≠0)为其周期之一
则必有f(x+T)=f(x)恒成立
令F(x)=f(x+T)-f(x)
F(x)=0对于任意x恒成立
由于
F(x)
=xcos(x+T)+Tcos(x+T)-xcosx
=Tcos(x+T)-2xsin(x+T/2)sin(T/2)
令x=0
得到F(0)=TcosT=0
由于T≠0,于是cosT=0
即T=2kπ+π/2(k为一整数)
于是
F(x)
=Tcos(x+T)-2xsin(x+T/2)sin(T/2)
=Tcos(x+2kπ+π/2)-2xsin(x+kπ+π/4)sin(kπ+π/4)
=-Tsinx-2x*(-1)^k*sin(x+π/4)*(-1)^k*sin(π/4)
=-Tsinx-√2xsin(x+π/4)
于是
F(π)=π≠0
产生矛盾,即f(x)=xcosx不是一个周期函数