灵鹊做题网证明三角形三条角平分线交于一点
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 07:29:03
证明三角形三条角平分线交于一点
我是初一的
我是初一的
已知△ABC中,AD,BE,CF分别是∠A,∠B,∠C的平分线.
求证：AD,BE,CF交于一点
证明：设AD与BE交于点P,则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C,用向量知识分析,即要证存在λ,使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)
为简便起见,设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.
∵AP平分∠A,BP平分∠B
∴存在λ1,λ2,使得
向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b),向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)
∵向量AB+向量BP=向量AP
∴向量AB+λ2(向量BA/c+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)
即:(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC
由平面向量基本定理,有：
1-λ2/c=λ1/c+λ1/b
λ2/a=λ1/b
消λ2,求得λ1=bc/(a+b+c)
于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）
∴向量CP=向量CA+向量AP
=向量CA+bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）
=向量CA+b/(a+b+c)向量AC+b/(a+b+c)向量CB+c/(a+b+c)向量AC
=a/(a+b+c)向量CA+b/(a+b+c)向量CB
=ab/(a+b+c)(向量CA/b+向量CB/a)
这就证到了存在λ＝ab/(a+b+c）,使得向量CP=λ(向量CA/b+向量CB/a)
所以AD,BE,CF交于一点．
这都是证明好了的典型题目
不懂的可以问
【第二种自己想的方法】还有一种更简单的方法
仍然是△ABC,两条角平分线是AD和BE,两角平分线的交点是P,连结PC
过P,分别向AB、BC、CA作垂线,垂足依次分别是R、S、T
则根据角平分线上一点到两边的距离相等,得
PT=PR,PR=PS
∴PT=PS
又∵Rt△CPS和Rt△CPT中PT=PS,PC=PC
利用直角三角形全等判定的HL定理,得
Rt△CPS≌Rt△CPT
∴对应角∠PCS=∠PCT
即PC平分∠ACB,
∴P是△ABC三个内角平分线的交点
即三角形的内角平分线交于一点
求证：AD,BE,CF交于一点
证明：设AD与BE交于点P,则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C,用向量知识分析,即要证存在λ,使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)
为简便起见,设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.
∵AP平分∠A,BP平分∠B
∴存在λ1,λ2,使得
向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b),向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)
∵向量AB+向量BP=向量AP
∴向量AB+λ2(向量BA/c+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)
即:(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC
由平面向量基本定理,有：
1-λ2/c=λ1/c+λ1/b
λ2/a=λ1/b
消λ2,求得λ1=bc/(a+b+c)
于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）
∴向量CP=向量CA+向量AP
=向量CA+bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）
=向量CA+b/(a+b+c)向量AC+b/(a+b+c)向量CB+c/(a+b+c)向量AC
=a/(a+b+c)向量CA+b/(a+b+c)向量CB
=ab/(a+b+c)(向量CA/b+向量CB/a)
这就证到了存在λ＝ab/(a+b+c）,使得向量CP=λ(向量CA/b+向量CB/a)
所以AD,BE,CF交于一点．
这都是证明好了的典型题目
不懂的可以问
【第二种自己想的方法】还有一种更简单的方法
仍然是△ABC,两条角平分线是AD和BE,两角平分线的交点是P,连结PC
过P,分别向AB、BC、CA作垂线,垂足依次分别是R、S、T
则根据角平分线上一点到两边的距离相等,得
PT=PR,PR=PS
∴PT=PS
又∵Rt△CPS和Rt△CPT中PT=PS,PC=PC
利用直角三角形全等判定的HL定理,得
Rt△CPS≌Rt△CPT
∴对应角∠PCS=∠PCT
即PC平分∠ACB,
∴P是△ABC三个内角平分线的交点
即三角形的内角平分线交于一点