灵鹊做题网考研高数中 同济六版 单射与一一映射有反函数的问题
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 11:40:37
考研高数中 同济六版 单射与一一映射有反函数的问题
同济六版高数上说,只要是单射的函数就有反函数,双射（即一一映射）有反函数没有疑问,关键就是单射中除去一一映射这种类型的函数也有反函数怎么理解啊,因为单射里面也包含不是满射的情况,如果y的取值大于函数的定义域呢,即Df包含于Y,这种情况是否也有反函数呢?例如：y=2x+1,x∈[1,2],其值域是[3,5],但是若Y=[0,10]呢,这个函数应该也是单射,但是能说他有反函数吗?
你举的例子跟我的是一个类型的,都是单射,而非一一映射的例子.我的疑问就是到底是只有一一映射才有反函数还是只要是单射就有反函数,我们的例子是证明了非一一映射的单射不存在反函数,这个结论与数学书上有矛盾啊!
同济六版高数上说,只要是单射的函数就有反函数,双射（即一一映射）有反函数没有疑问,关键就是单射中除去一一映射这种类型的函数也有反函数怎么理解啊,因为单射里面也包含不是满射的情况,如果y的取值大于函数的定义域呢,即Df包含于Y,这种情况是否也有反函数呢?例如：y=2x+1,x∈[1,2],其值域是[3,5],但是若Y=[0,10]呢,这个函数应该也是单射,但是能说他有反函数吗?
你举的例子跟我的是一个类型的,都是单射,而非一一映射的例子.我的疑问就是到底是只有一一映射才有反函数还是只要是单射就有反函数,我们的例子是证明了非一一映射的单射不存在反函数,这个结论与数学书上有矛盾啊!
这句话应该这样理解吧.
A集合到B集合单射函数的反函数必然是存在的.但是不一定是B集合到A集合的映射.只要A集合到B集合的映射是单射,那么必然能找到从B的一个子集到A集合的某种映射函数是A集合到B集合单射函数反函数.
再问： 那么不一定是B集合到A集合的映射能构成反函数吗、。还是如果y的取值大于函数的定义域呢，即Df包含于Y，这种情况是否也有反函数呢？是不是应该是单射和满射同时符合构成双射的情况下是满足的呢？你的意思是不是说并不是所有的B集合到A集合的映射构成反函数，只是B中的一个自己是A集合到B集合的反函数
再答： 是这样，比方说y=1/x可以说成是x是实数且x不等于0的集合向y是实数的集合的映射，这时候这个映射只是单射，不是满射。但是你能说y=1/x没反函数吗？他有，他的反函数是x是x是实数且x不等于0的集合（即原来y的集合实数集的子集）向y是实数且x不等于0的集合（原来x的集合）的映射1/x。
所以说这个反函数是客观存在的，但是不一定是B集合到A集合的映射，难道B的某个子集到A集合的单射或满射不算是函数吗？只要是一个集合（这个集合可以是B，也可以是B的子集）向另一个集合的对应关系满足前面集合的每个元素都唯一的对应后面集合的某个元素，那么就是函数。
现在B的某个子集的每个元素都唯一的对应了A的某个元素。这当然是函数了。只不过不是B到A的函数，而是B的某个子集到A的函数。但是这个函数和前面的函数之间关系确实是互逆的，确实是前面函数的每个原因变量的值反过来算出原自变量的值啊。
首先，反函数的定义域是原函数的值域。而原函数的值域是原函数经过函数式计算后，因变量的全部能取到的范围。所以如果A到B只是单射，不是满射，那么B就不是函数的值域，而是比函数值域大的集合。函数的值域是B的子集。那么反函数的定义域是B的子集也是理所当然的了。
再问： 首先非常感谢你。
综上所说可不可以这理如果说只满足单射而不一定满射从而不是双射的情况下，反函数也是客观存在的只不过有可能是B的子集到A的映射，此时的B值域的子集是反函数的定义域
如果说是满足A到B的映射是单射而且是满射从而是双射的情况下，那么我们就可以说B就是A的反函数，此时B的值域就是反函数的定义域
课本上说的只要满足单射就存在反函数是正确的，只是范围的大小
A集合到B集合单射函数的反函数必然是存在的.但是不一定是B集合到A集合的映射.只要A集合到B集合的映射是单射,那么必然能找到从B的一个子集到A集合的某种映射函数是A集合到B集合单射函数反函数.
再问： 那么不一定是B集合到A集合的映射能构成反函数吗、。还是如果y的取值大于函数的定义域呢，即Df包含于Y，这种情况是否也有反函数呢？是不是应该是单射和满射同时符合构成双射的情况下是满足的呢？你的意思是不是说并不是所有的B集合到A集合的映射构成反函数，只是B中的一个自己是A集合到B集合的反函数
再答： 是这样，比方说y=1/x可以说成是x是实数且x不等于0的集合向y是实数的集合的映射，这时候这个映射只是单射，不是满射。但是你能说y=1/x没反函数吗？他有，他的反函数是x是x是实数且x不等于0的集合（即原来y的集合实数集的子集）向y是实数且x不等于0的集合（原来x的集合）的映射1/x。
所以说这个反函数是客观存在的，但是不一定是B集合到A集合的映射，难道B的某个子集到A集合的单射或满射不算是函数吗？只要是一个集合（这个集合可以是B，也可以是B的子集）向另一个集合的对应关系满足前面集合的每个元素都唯一的对应后面集合的某个元素，那么就是函数。
现在B的某个子集的每个元素都唯一的对应了A的某个元素。这当然是函数了。只不过不是B到A的函数，而是B的某个子集到A的函数。但是这个函数和前面的函数之间关系确实是互逆的，确实是前面函数的每个原因变量的值反过来算出原自变量的值啊。
首先，反函数的定义域是原函数的值域。而原函数的值域是原函数经过函数式计算后，因变量的全部能取到的范围。所以如果A到B只是单射，不是满射，那么B就不是函数的值域，而是比函数值域大的集合。函数的值域是B的子集。那么反函数的定义域是B的子集也是理所当然的了。
再问： 首先非常感谢你。
综上所说可不可以这理如果说只满足单射而不一定满射从而不是双射的情况下，反函数也是客观存在的只不过有可能是B的子集到A的映射，此时的B值域的子集是反函数的定义域
如果说是满足A到B的映射是单射而且是满射从而是双射的情况下，那么我们就可以说B就是A的反函数，此时B的值域就是反函数的定义域
课本上说的只要满足单射就存在反函数是正确的，只是范围的大小