灵鹊做题网求积分∫ 1/(1+e^2x) dx
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 03:17:48
求积分∫ 1/(1+e^2x) dx
我自己做是上下同乘e^-2x.-1/2∫1/（e^-2x+1）d(e^-2x) 可这样做跟答案完全对不上我想知道我这样解题对吗.
我自己做是上下同乘e^-2x.-1/2∫1/（e^-2x+1）d(e^-2x) 可这样做跟答案完全对不上我想知道我这样解题对吗.
求积分∫ dx/[1+e^(2x)]
令e^x=u,则(e^x)dx=du,故dx=(du)/e^x=(du)/u,代入原式得：
原式=∫du/[u(1+u²)]=∫[(1/u)-u/(1+u²)]du=∫(1/u)du-∫udu/(1+u²)
=lnu-(1/2)∫d(1+u²)/(1+u²)=lnu-(1/2)ln(1+u²)+C
=ln(e^x)-(1/2)ln[1+e^(2x)]+C
=x-(1/2)ln[1+e^(2x)]+C
再问： 你的这个方法我会，我只是想问我做的那个错在那了，我觉得这样做没问题。
再答： 你那样作是可以的，结果也是正确的。
∫ dx/[1+e^(2x)] =∫{e^(-2x)/[e^(-2x)+1]}dx=-(1/2)∫{d[e^(-2x)+1]}/[e^(-2x)+1]
=-(1/2)ln[e^(-2x)+1]+C=-(1/2)ln[(1+e^(2x))/e^(2x)]+C
=-(1/2){ln[1+e^(2x)-lne^(2x)]}+C
=-(1/2){ln[1+e^(2x)]-2x]}+C
=x-(1/2)ln[1+e^(2x)]+C
两个运算，结果一致。
令e^x=u,则(e^x)dx=du,故dx=(du)/e^x=(du)/u,代入原式得：
原式=∫du/[u(1+u²)]=∫[(1/u)-u/(1+u²)]du=∫(1/u)du-∫udu/(1+u²)
=lnu-(1/2)∫d(1+u²)/(1+u²)=lnu-(1/2)ln(1+u²)+C
=ln(e^x)-(1/2)ln[1+e^(2x)]+C
=x-(1/2)ln[1+e^(2x)]+C
再问： 你的这个方法我会，我只是想问我做的那个错在那了，我觉得这样做没问题。
再答： 你那样作是可以的，结果也是正确的。
∫ dx/[1+e^(2x)] =∫{e^(-2x)/[e^(-2x)+1]}dx=-(1/2)∫{d[e^(-2x)+1]}/[e^(-2x)+1]
=-(1/2)ln[e^(-2x)+1]+C=-(1/2)ln[(1+e^(2x))/e^(2x)]+C
=-(1/2){ln[1+e^(2x)-lne^(2x)]}+C
=-(1/2){ln[1+e^(2x)]-2x]}+C
=x-(1/2)ln[1+e^(2x)]+C
两个运算，结果一致。