灵鹊做题网有一题算出结果后不大确定,请求各位给出标准解答.
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 11:28:35
有一题算出结果后不大确定,请求各位给出标准解答.
f(x)=ax²+bx+c,（a,b,c∈R）f'(x)≤f(x),f(c)－f(b)≤M(c²－b²),求M最小值
只是凭自己的印象打出的,
f(x)=ax²+bx+c,（a,b,c∈R）f'(x)≤f(x),f(c)－f(b)≤M(c²－b²),求M最小值
只是凭自己的印象打出的,
这好像是一道高考题吧,但a=1
f'(x)=2x+b
f'(x)≤f(x)
即x²+(b-2)x+c-b≥0恒成立
Δ=（b-2)²-4(c-b)≤0
∴b²+4-4c≤0
∴c≥b²/4+1
∵b²/4+1≥2√(b²/4)=|b|
当 b²/4=1即b=±2时取等号
∴c≥|b|
f(c)-f(b)
=c²-b²+bc-b²
=(c+b)(c-b)+b(c-b)
=(c-b)(c+2b)
f(c)－f(b)≤M(c²－b²)
(c-b)(2b+c)≤M(c²－b²)=M(c-b)(c+b)
当c>|b|时,c-b>0,c+b>0
∴M≥(2b+c)/(b+c)
设N=(2b+c)/(b+c)=(2b/c)/(b/c+1)
需M≥N(max)
令=t =b/c∈(-1,1)
N=(2t+1)/(1+t)=2-1/(1+t)
∵0
f'(x)=2x+b
f'(x)≤f(x)
即x²+(b-2)x+c-b≥0恒成立
Δ=（b-2)²-4(c-b)≤0
∴b²+4-4c≤0
∴c≥b²/4+1
∵b²/4+1≥2√(b²/4)=|b|
当 b²/4=1即b=±2时取等号
∴c≥|b|
f(c)-f(b)
=c²-b²+bc-b²
=(c+b)(c-b)+b(c-b)
=(c-b)(c+2b)
f(c)－f(b)≤M(c²－b²)
(c-b)(2b+c)≤M(c²－b²)=M(c-b)(c+b)
当c>|b|时,c-b>0,c+b>0
∴M≥(2b+c)/(b+c)
设N=(2b+c)/(b+c)=(2b/c)/(b/c+1)
需M≥N(max)
令=t =b/c∈(-1,1)
N=(2t+1)/(1+t)=2-1/(1+t)
∵0