灵鹊做题网函数可导和函数连续的关系
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：物理作业 时间：2024/05/01 00:49:39
函数可导和函数连续的关系
可导必连续还是连续必可导?
可导必连续还是连续必可导?
我说下直观理解吧.
可导在几何图像上面理解,应该是有切线的意思.有切线就是这个曲线在很小的一段局部会很接近直线,局部越小越接近直线,所以要求这个函数曲线不但不能有断开的悬空的点,还要求这个函数曲线平滑,不能突兀（比如一个很尖的地方,那里再怎么取一小段都是尖的凸出来的,不可能是接近直线.
连续在几何图像上面理解,就是没有断开的.一个尖尖的折线也不断开,但是肯定不可导.但是反过来可导的一定连续.
再问： 就是说： 可导必连续。连续不一定可导？ 但是 “可导”的定义里面不是说 “去心邻域”吗？那就是那个点可以是 可去间断点吧? 既然是 可去间断点 那 曲线不就是相当于断开了吗？
再答： 不太清楚，我没有见过哪个教材上面说去心邻域的啊…… 导数定义是[f(x0+δx)-f(x0)]/δx，让δx趋近于0的极限。表达式里面已经出现了f(x0)这个量了，就算是可去间断点也不对啊，f(x0)和f(x0+δx)相差很远，结果是一个有限量，但是分母上是无穷小就说不通了。
再问： 那么说 函数在某个区间可导的 条件是什么呢？ 如果函数的一个点的导数=0，这个点两侧的导数同号， 那么这个点是不是就是拐点？
再答： 一个开区间可导指的是函数在这个区间每一点都可导。 一个闭区间[a,b]可导指它内部的每一点可导，而且a点存在右导数，b点存在左导数。 一个点导数等于0，左右两边同号应该是拐点，因为表明这一点是导数的一个极值点，斜率最大或者最小的地方，这一点代表一种斜率的变化，应该是拐点。
再问： 拐点是不是特殊的驻点？看到网上有人说“驻点不一定是极值点”的时候解释说的是两侧导数同号， 那么这个时候不就是拐点了？既然这么说，那么为什么 “极值点是驻点而驻点不一定是极值点”
再答： 对，拐点是特殊的驻点，驻点包括拐点、极值点和其他情况（貌似常函数的每个点都是驻点但是不叫拐点也不叫极值点）。 我说的拐点是导函数的极值点，拐点显然不是原函数的极值点。“极值点是驻点而驻点不一定是极值点”这句话是针对原函数说的。
可导在几何图像上面理解,应该是有切线的意思.有切线就是这个曲线在很小的一段局部会很接近直线,局部越小越接近直线,所以要求这个函数曲线不但不能有断开的悬空的点,还要求这个函数曲线平滑,不能突兀（比如一个很尖的地方,那里再怎么取一小段都是尖的凸出来的,不可能是接近直线.
连续在几何图像上面理解,就是没有断开的.一个尖尖的折线也不断开,但是肯定不可导.但是反过来可导的一定连续.
再问： 就是说： 可导必连续。连续不一定可导？ 但是 “可导”的定义里面不是说 “去心邻域”吗？那就是那个点可以是 可去间断点吧? 既然是 可去间断点 那 曲线不就是相当于断开了吗？
再答： 不太清楚，我没有见过哪个教材上面说去心邻域的啊…… 导数定义是[f(x0+δx)-f(x0)]/δx，让δx趋近于0的极限。表达式里面已经出现了f(x0)这个量了，就算是可去间断点也不对啊，f(x0)和f(x0+δx)相差很远，结果是一个有限量，但是分母上是无穷小就说不通了。
再问： 那么说 函数在某个区间可导的 条件是什么呢？ 如果函数的一个点的导数=0，这个点两侧的导数同号， 那么这个点是不是就是拐点？
再答： 一个开区间可导指的是函数在这个区间每一点都可导。 一个闭区间[a,b]可导指它内部的每一点可导，而且a点存在右导数，b点存在左导数。 一个点导数等于0，左右两边同号应该是拐点，因为表明这一点是导数的一个极值点，斜率最大或者最小的地方，这一点代表一种斜率的变化，应该是拐点。
再问： 拐点是不是特殊的驻点？看到网上有人说“驻点不一定是极值点”的时候解释说的是两侧导数同号， 那么这个时候不就是拐点了？既然这么说，那么为什么 “极值点是驻点而驻点不一定是极值点”
再答： 对，拐点是特殊的驻点，驻点包括拐点、极值点和其他情况（貌似常函数的每个点都是驻点但是不叫拐点也不叫极值点）。 我说的拐点是导函数的极值点，拐点显然不是原函数的极值点。“极值点是驻点而驻点不一定是极值点”这句话是针对原函数说的。