灵鹊做题网什么情况下矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵,能证明下吗?
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 15:51:02
什么情况下矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵,能证明下吗?
矩阵A的转置矩阵A^T等于A的逆矩阵A^-1
那么AA^T=AA^-1=E
设A=(α1,α2,α3,...,αn)^T,其中αi为n维列向量,
那么A^T=(α1,α2,α3,...,αn),
α1^Tα1,α1^Tα2,α1^Tα3,...,α1^Tαn
α2^Tα1,α2^Tα2,α2^Tα3,...,α2^Tαn
那么AA^T=( ...............)=E,
...............
αn^Tα1,αn^Tα2,αn^Tα3,...,αn^Tαn
那么||αi^Tαi||=1,||αi^Tαj||,i≠j,
也就是说A的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
同理设A=(α1,α2,α3,...,αn)时用A^TA=E可以证明A的每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
这样的矩阵叫做正交矩阵,也就是说A必须是单位矩阵才满足A^T=A^-1
还有没不明白的,欢迎追问~
那么AA^T=AA^-1=E
设A=(α1,α2,α3,...,αn)^T,其中αi为n维列向量,
那么A^T=(α1,α2,α3,...,αn),
α1^Tα1,α1^Tα2,α1^Tα3,...,α1^Tαn
α2^Tα1,α2^Tα2,α2^Tα3,...,α2^Tαn
那么AA^T=( ...............)=E,
...............
αn^Tα1,αn^Tα2,αn^Tα3,...,αn^Tαn
那么||αi^Tαi||=1,||αi^Tαj||,i≠j,
也就是说A的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
同理设A=(α1,α2,α3,...,αn)时用A^TA=E可以证明A的每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
这样的矩阵叫做正交矩阵,也就是说A必须是单位矩阵才满足A^T=A^-1
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