如图,在平面直角坐标系中,将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在两坐标轴上,直角顶点C的坐标为（,0

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 21:51:18

如图,在平面直角坐标系中,将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在两坐标轴上,直角顶点C的坐标为（,0）,点B在抛物线上．
（1）点A的坐标为 ,点B的坐标为；
（2）抛物线的关系式为；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D,求△DBC的面积；
（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°,到达的位置．请判断点、是否在（2）中的抛物线上,并说明理由．

由题意得
（1）
∵AC=√5,CO=1,
∴AO=√（5-1）=2,
∴A（0,2）,
做BF⊥OC,
∵BC=AC,∠AOC=∠BFC,
∠CAO=∠BCF,
∴△BFC≌△COA,
∴CF=AO=2,
∴B（-3,1）
故答案为：A（0,2）,B（-3,1）．
（2）
将B（-3,1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2,
∴a=1/2,
∴y=1/2x²+1/2x-2．
（3）
如图1,可求得抛物线的顶点D（-1/2,-17/8）．
设直线BD的关系式为y=kx+b,将点B、D的坐标代入,
求得k=-5/4,b=-11/4,
∴BD的关系式为y=-5/4x-11/4．
设直线BD和x轴交点为E,则点E（-11/5,0）,CE=6/5．
∴△DBC的面积为SCBE+SCED=1/2×6/5×1+1/2×6/5×17/8
=1/2×6/5×(1+17/8)=15/8
（4）
如图2,过点B′作B′M⊥y轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N,
过点C′′作C′′P⊥y轴于点P．
在Rt△AB′M与Rt△BAN中,
∵AB=AB′,∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM,
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1,AM=BN=3,
∴B′（1,-1）．
同理△AC′P≌△CAO,C′P=OA=2,AP=OC=1,可得点C′（2,1）；
将点B′、C′的坐标代入y=1/2x²+1/2x-2,可知点B′、C′在抛物线上．
（事实上,点P与点N重合）