大学微积分之复合函数,这个为什么解错了?

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 03:46:13

大学微积分之复合函数,这个为什么解错了?
错解错在哪里?

因为题目只给出g(x)在x=a处连续,并不保证g(x)在x=a处可导,所以错解中的g'(x)不一定存在
严格地说,"正确解法"也不完全对,因为g'(x)不一定存在,进而f'(a)是否存在也不知道
必须分别求f(x)在x=a处的左导数和右导数,然后比较
例如设g(x)=|x-a|, g(x)在x=a处连续,但g(x)在x=a处不可导,所以g'(a)不存在
但f(x)=(x²-a²)g(x)=(x²-a²)|x-a|
则f(x)在x=a处的左导数
f'(a-)=lim(x→a-) [f(x)-f(a)]/(x-a)=lim(x→a-) (x²-a²)|x-a|/(x-a)=lim(x→a-) (x+a)|x-a|=2a|x-a|
f(x)在x=0处的右导数
f'(a+)=lim(x→a+) [f(x)-f(a)]/(x-a)=lim(x→a+) (x²-a²)|x-a|/(x-a)=lim(x→a+) (x+a)|x-a|=2a|x-a|
∴f'(a-)=f'(a+)=f'(a)=2a|x-a|=2ag(a)
再问：刚学不大明白老师为什么“ g'(x)不一定存在，进而f'(a)是否存在也不知道 ”？
再答：把f(x)看作关于g(x)的函数，即令u=g(x), 则f(g(x))=f(u) 若u=g(x)在x=a处不可导，则f(u)在x=a处必不可导
再问：明白了！非常感谢那个莱布尼兹公式考试时要背过么还是试卷中给出？
再答：莱布尼兹公式不复杂啊，试卷中一般应该不会给出来吧

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