如图，ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是菱形，AA1⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=60°，E是AA

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 04:29:27

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是四棱柱，底面ABCD是菱形，AA₁⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=60°，E是AA₁的中点．

（1）求证：平面BD₁E⊥平面BB₁D₁D；
（2）若四面体D₁-ABE的体积V=1，求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

如图，ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是菱形，AA1⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=60°，E是AA

（1）设平面BD₁E∩CC₁=F，连接BF，则△D₁A₁E与△BCF的对应边互相平行（1分），
且A₁D₁=BC，所以△D₁A₁E≌△BCF（2分），
F是CC₁的中点（3分），
连接A₁C₁、B₁D₁，因为AA₁⊥底面ABCD，所以AA₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥BB₁（4分），
ABCD是菱形，A₁C₁⊥B₁D₁，且BB₁∩B₁D₁=B₁，所以A₁C₁⊥面BB₁D₁D（5分），
因为E、F分别是AA₁、CC₁的中点，所以A₁EFC₁是矩形，EF∥A₁C₁，所以EF⊥平面BB₁D₁D（6分），
EF⊂平面BD₁E（即平面BFD₁E），所以，面BD₁E⊥面BB₁D₁D（7分）．
（2）因为AA₁⊥底面ABCD，所以AA₁是棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高（8分），
AA₁⊂平面ABB₁A₁，平面ABB₁A₁⊥底面ABCD（9分），
在底面A₁B₁C₁D₁上作D₁F⊥A₁B₁，垂足为F，面ABB₁A₁∩面A₁B₁C₁D₁=A₁B₁，所以D₁F⊥面ABB₁A₁（10分），
所以V＝
1
3×S△ABE×D1F（11分），
其中S△ABE＝
1
2×AE×AB＝AE＝
1
2AA1，D1F＝A1D1×sin60o＝
3（12分），
所以V＝
1
3×
1
2AA 1×
3＝1（13分），
解得AA 1＝2
3，即棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为2
3（14分）．